ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY Jaroslav Lukeš

obsah


I. Základní pojmy


  1. Banachovy a Hilbertovy prostory
    • normované lineární prostory, příklady (konečně dimenzionální, spojité funkce na kompaktu, Radonovy míry, prostory posloupností, $L^p$-prostory)
    • spojitost normy
    • algebraické a topologické součty i doplňky, projekce
    • Hilbertův prostor, skalární součin, rovnoběžníkové pravidlo, Schwarzova nerovnost, ortogonální prvky, ortonormální systémy, Besselova nerovnost, ortonormální báze a jejich charakteristiky (úplnost, Parsevalova rovnost, Fourierův rozvoj, vyjádření skalárního součinu), ortogonální projekce a její vlastnosti, ortogonální doplňky
    • existence nejmenšího prvku pro uzavřené podprostory a jeho charakteristika
    • Rieszova věta o skoro kolmici, kompaktnost jednotkové koule (další charakteristika prostorů konečné dimenze)
  2. Lineární zobrazení a funkcionály
    • algebraická verze Hahn-Banachovy věty
    • spojitost a omezenost lineárního zobrazení, norma spojitého lineárního zobrazení
    • prostor spojitých lineárních zobrazení, jeho úplnost, algebraický a topologický duál
    • izometrická a izomorfní zobrazení
    • Fréchet-Rieszova věta o spojitých lineárních formách na Hilbertově prostoru
    • popis duálů konkrétních prostorů ($L^p$-prostory, Hilberovy prostory, $\Cal C (K)$, prostory posloupností)
    • druhý duál
  3. Reflexivní prostory
    • analytická verze Hahn-Banachovy věty
    • speciální Hahn-Banachova věta o tečné nadrovině a oddělování bodů
    • kanonické vnoření $X$ do $X^{**}$ a jeho vlastnosti
    • reflexivní prostory, příklady, reflexivita Hilbertových a $L^p$-prostorů
    • adjungovaná zobrazení v Banachových a Hilbertových prostorech
  4. Slabá konvergence
    • úvod do problematiky (Bolzano-Weierstrassova věta, kompaktnost v nekonečné dimenzi)
    • slabá konvergence v $X$, příklady
    • problém definice slabých konvergencí v $X^*$


II. Základní věty funkcionální analýzy


  1. Princip stejnoměrné omezenosti
    • Baireova věta o kategoriích
    • princip stejnoměrné omezenosti
    • Banach-Steinhausova věta
    • silná omezenost slabě konvergentních posloupností
    • (Eberlein-Šmuljanova) charakteristika reflexivních prostorů
    • konvergence Fourierových řad (přehledně: problém konvergence pro spojité funkce, sšítatelnost Fourierových řad, $L^2$-konvergence, Carlesonův výsledek, existence spojitých funkcí s konvergentní Fourierovou řadou)
  2. Věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu
    • věta o otevřeném zobrazení (bez důkazu)
    • spojitost lineárního inverzního zobrazení
    • součin normovaných lineárních prostorů
    • vztah spojitých a uzavřených zobrazení, věta o uzavřeném grafu


III. Spektrální teorie kompaktních operátorů


  1. Operátory v Banachových prostorech}
    • lineární rovnice v $\bold R ^n$, lineární zobrazení a matice
    • vztah integrálních a diferenciálních rovnic
    • Fredholmovy a Volterrovy integrální rovnice, jádra, integrální operátory
    • vlastní vektory a vlastní hodnoty
    • invertibilní operátory versus prosté operátory, které jsou na, vyjádření inverze pomocí Neumannovy řady, otevřenost množiny invertibilních operátorů
    • pojem spektra omezeného lineárního operátoru
  2. Kompaktní operátory
    • kompaktní operátory a jejich vlastnosti, příklady (Fredholmovy a Volterrovy operátory)
    • charakteristika kompaktních operátorů v Hilbertových prostorech
    • Schauderova věta o kompaktnosti adjungovaného operátoru
  3. Riesz-Schauderova teorie
    • tři Fredholmovy věty pro algebraické rovnice
    • dimenze jádra kompaktního operátoru a uzavřenost jeho range
    • Fredholmova alternativa
    • struktura spektra kompaktního operátoru
    • pojem anihilátoru (kolmice) a jeho základní vlastnosti
    • druhá Fredholmova věta (existence řešení pro danou pravou stranu)
    • třetí Fredholmova věta o dimenzi a kodimenzi původního a adjungovaného operátoru



Literatura

Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997)
M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968)
J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998)
J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993 - anglické vydání 1995)
L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)
K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)
I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972)
P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990)
W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977)
W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975)
J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975)
A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)

Jaroslav Lukeš

Napsat recenzi

Poznámka: Nepoužívejte HTML tagy!
    Špatný           Dobrý

ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY Jaroslav Lukeš

  • Kód výrobku: ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY Jaroslav Lukeš
  • Dostupnost: 1
  • 140CZK

  • Cena bez DPH: 140CZK