Joan Gómez. Neeukleidovské geometrie Když se přímky zakřivují

Překlad Ondrej Majer, vázaná s přebalem, 136 stran, 104 barevných ilustrací, 298 Kč, ISBN 978-80-7363-844-3, EAN 9788073638443, 

vydání 1, Vyjde 10.04.2018
Původní název: Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclídeas

Už od dob Eukleida, který žil před více než dvěma tisíci lety, si všichni mysleli, že geometrie je jen jedna. To se však radikálně změnilo s novými matematickými objevy, které v zakřivených prostorech odhalily nové, alternativní geometrie. Možná se vám to zdá neuvěřitelné, ale v knize se dozvíte, že všechny tyto vesmíry skutečně existují, a navíc že v nich všichni žijeme. Autor se v každé kapitole soustředí na jednu neeukleidovskou geometrii a srozumitelně vysvětluje její význam a vlastnosti s využitím praktických příkladů - od renesančních maleb, přes teorii relativity, až po umělou inteligenci.

O autorovi:
Gómez Joan
Joan Vicenç Gómez Urgelléss je profesorem na katedře matematiky barcelonské Katalánské polytechniky ve Vilanova i la Geltrú. Zabývá se modelováním, kryptografií, geometrií, lineární algebrou a problematikou výuky matematiky. Kromě řady odborných publikací napsal např. další knihu z řady Matematický svět: Matemáticos, espias y piratas informáticos: Codificación y criptografía (Matematici, špióni a hackeři. Kódování a šifrování)

Obsah
Předmluva
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
9
Kapitola 1. Cesta taxíkem
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
11
Kouzelné ulice    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
13
Taxíková vzdálenost   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
14
Příklad s trojúhelníky   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
17
Kružnice
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
19
Elipsy
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
20
Dálnice sjednocení
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
22
Kapitola 2. Eukleidovská geometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
24
Eukleides,
Základy
a pátý postulát
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
24
Ekvivalenty pátého postulátu   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
30
Geometrie renesančních maleb   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
33
Rozpor s Eukleidem   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
36
Kapitola 3. Soupeření s Eukleidem
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
40
Poslední řecký mistr
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
40
Středověcí strážci řeckého poznání
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
43
Novověk   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
43
Saccheriho čtyřúhelník   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
45
K neeukleidovským geometriím
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
48
Kapitola 4. Vznik neeukleidovské geometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
49
Nikolaj Lobačevskij: ruská duše hyperbolické geometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .
49
János Bolyai: matematik a kavalerista
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
51
Gaussův přínos
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
52
Gaussova a Bolyaiova korespondence   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
53
Lobačevského a Bolyaiovy společné úspěchy
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
55
Modely hyperbolické geometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
56
Riemann a eliptická geometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
61
Stejný, ale odlišný
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
64
Mravenčí závod
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
66
Einstein versus Eukleides
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
68
Teorie relativity
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
68
Správná geometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
70
Kapitola 5. Překvapivé výsledky hyperbolické geometrie
.  .  .  .  .  .  .
72
Hraniční úhel rovnoběžek a přímek
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
73
Ekvidistantní křivky   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
74
Pythagoras, trojúhelníky a délky
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
75
Trojúhelníky
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
75
Kružnice
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
76
Pythagoras
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
78
Hyperbolická trigonometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
80
Klasická a hyperbolická trigonometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
84
Kapitola 6. Přínos eliptické geometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
86
Třetí geometrie   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
86
Terminologie sférické geometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
88
Svět sférických trojúhelníků   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
92
Součet vnitřních úhlů a stran sférického trojúhelníka
.  .  .  .  .  .  .  .  .
93
Obsah trojúhelníka
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
93
Obvod kružnice
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
93
Sinová a kosinová věta
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
94
Pythagorova věta
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
94
Kapitola 7. Geometrie Země
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
96
Rovnoběžky a poledníky   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
97
Od mapy světa ke Google
TM
Earth   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   100
Jaká je nejkratší vzdálenost mezi Barcelonou a Tokiem?    .  .  .  .  .  .  .  .   102
Kapitola 8. Geometrie v 21. století
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   105
Integrální geometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   105
Od kružítek k počítačům
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   108
Umělé oči pro roboty   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   110
Magnetická rezonance
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   112
Digitální obrázky
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   114
CAD: Computer-Aided Design
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   119
Dálkový průzkum Země: geografické informační systémy
.  .  .  .  .  .  .  .   121
Dodatek. Teorie relativity a nové geometrie
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   125
Obecná relativita
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   127
Relativita hmoty a prostoru    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   127
Literatura
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   132
Rejstřík
.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   133
Předmluva
Největším převratem v dějinách vědy byl vývoj neeukleidovské geometrie, která
otřásla neochvějnou vírou v absolutní pravdivost Eukleidových poznatků.
Edward Kasner a James Newman (
Matematika a představivost
, 1941)
Každý z nás dobře zná mnoho geometrických pojmů, protože geometrii často
používáme v řadě oblastí každodenního života. Tyto pojmy jsou součástí tak-
zvané „klasické“ či „eukleidovské“ geometrie, ale existují i jiné geometrie než
ta, o níž jsme se učili ve škole. Tato kniha z vás neudělá experta na nekonvenční
geometrie, ale ukáže vám, že naše realita je bohatší, než si myslíte – nejen díky
přírodním úkazům, ale i díky matematickým nástrojům, pomocí kterých je
dokážeme pochopit.
Následující stránky popisují, jak s geometrií pracovat a jak o ní přemýšlet
jinými způsoby, než jsme zvyklí. Tyto způsoby vycházejí z reality našeho světa
a úzce souvisejí s eukleidovskou geometrií. Nové geometrie bývají často pova-
žovány za oblast přístupnou výhradně jejím tvůrcům, ale v dalších kapitolách
se vám dostane jasného a srozumitelného vysvětlení jejich základů.
Abychom do těchto nových světů pronikli co nejsnadněji, začneme tam,
kde se promítají do každodenního života. Proto se nejprve vydáme na krátkou
cestu, na níž si představíme „taxíkovou geometrii“. Tento druh geometrie je
založen na takzvané „Minkowského vzdálenosti“, která se od běžného kon-
ceptu vzdálenosti poněkud liší. Když se ale chceme rozletět do vzdálených
a exotických krajů, musíme se odrazit od pevných základů. Navštívíme Euk-
leida a seznámíme se se základy každodenní geometrie z první ruky. Potom
teprve můžeme diskutovat o konceptech, jako jsou „pátý postulát“ a „problém
rovnoběžek“, které daly vzniknout novým geometriím.
Až  se  vyzbrojíme  tím  nejlepším  matematickým  arzenálem,  konečně  se
vydáme do rozsáhlého území nových geometrií. Prvním krokem bude rozhled
po krajině a průzkum terénu, seznámíme se s pokusy o důkaz pátého postulátu.
Až poté, co tyto pokusy selhaly, po mnoha staletích nadvlády mistra Eukleida,
začali ho v 18. století ti nejvýznamnější matematici konečně zpochybňovat.
9
MATEMATICKÝ SVĚT 3. NEEUKLEIDOVSKÉ GEOMETRIE
Neúspěšné pokusy o důkaz pátého postulátu začaly podkopávat dosud
neochvějnou autoritu klasické geometrie. Právě v tu dobu vstoupily na scénu
ty nejzajímavější osobnosti z dějin matematiky. Historie alternativních inter-
pretací  tohoto  postulátu  je  plná  nepochopení  i  práce  géniů  a  patří  do  ní
zvučná jména matematického světa: Lobačevskij, Bolyai, Gauss, Riemann...
Zevrubně prozkoumáme výsledky první nové geometrie, která si vysloužila
vlastní jméno – hyperbolické geometrie Lobačevského a Bolyaie. Poznáme, jak
radikálně změnila náš koncept fyzické reality a jak ovlivnila výzkum Alberta
Einsteina, který vyústil v teorii relativity.
Riemannova eliptická geometrie nás přenese do podivného a výstředního
světa koulí a ukáže nám, že v něm může být součet vnitřních úhlů trojúhel-
níků větší než 180°. Sférická geometrie nám umožní zodpovědět otázky jako
„Jaká je nejkratší vzdálenost mezi dvěma městy na zemském povrchu?“ či „Lze
změřit vnitřní úhly trojúhelníka, jehož vrcholy leží v Paříži, Milánu a Madri-
du?“. Poznáme, jak ji můžeme využít při určování zeměpisné polohy, což je
v dnešním globalizovaném světě velmi užitečné – GPS nás dokáže nasměrovat
i do těch nejzapadlejších koutů planety.
Řeka nových idejí protrhla hráz tradičních vědeckých pojmů a inspirovala
vznik stovek nových konceptů. Naše cesta povede až do současnosti této pro-
blematiky – k integrální a výpočetní geometrii, které tvoří základ nejnovějších
technologií. Čtenáři, kteří chtějí prozkoumat zde nastíněná témata více do
hloubky, mohou použít tituly uvedené v bibliografii na konci knihy. Nechybí
ani rejstřík, který umožňuje snadnou orientaci v textu.
10