D. Trkovská: Historický vývoj geometrických transformací,

        2015, 174 stran,

Obsah
Úvodní slovo                                                 3
1  Historický přehled geometrických transformací                7
1.1  Shodnost a podobnost  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    7
1.2  Pohyby v geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    9
1.3  Osová afinita  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   11
1.4  Stejnolehlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13
1.5  Kruhová inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   14
1.6  Promítání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   18
1.7  Stereografická projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   19
1.8  Afinní transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   23
1.9  Projektivní transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24
2  Barycentrický počet                                       31
2.1  August Ferdinand Möbius  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31
2.2  Möbiův list  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   34
2.3  Barycentrické (homogenní) souřadnice  . . . . . . . . . . . . . . .   36
2.4  Geometrické transformace  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   41
3  Cremonovy transformace                                   51
3.1  Luigi Cremona  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   51
3.2  Cremonovy (biracionální) transformace . . . . . . . . . . . . . . .   55
3.3  Cremonův vliv ve světě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   60
3.4  Cremonův vliv v českých zemích . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   62
4  Erlangenský program                                      69
4.1  Felix Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   69
4.2  Základní myšlenka klasifikace geometrií . . . . . . . . . . . . . . .   71
4.3  Grupy  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   72
4.4  Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   76
4.5  Erlangenský program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   79
4.6  Elementární matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   88
4.7  Pokračovatelé Felixe Kleina  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   89
4.8  Fyzikální souvislosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   90
5  Meranský program                                        93
5.1  Reformní snahy Felixe Kleina  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   93
5.2  Meranský program  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   97
5.3  Další reformní snahy  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   99
5.4  Situace v českých zemích v 19. století . . . . . . . . . . . . . . . .  101
5.5  Marchetova reforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  103
5.6  České učebnice matematiky  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  104
1
6  Transformace na přelomu 19. a 20. století                   113
6.1  Axiomatický systém  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  114
6.2  Moritz Pasch  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  116
6.3  David Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  121
Závěrečné zamyšlení                                        133
English Summary                                           135
Seznam použité literatury                                   147
Jmenný rejstřík                                            167
Věcný rejstřík                                              171
2
 

Úvodní slovo
Tato monografie je upravenou verzí mé disertační práce, kterou jsem sepsala
v letech 2006 až 2014 v rámci doktorského studia a obhájila v lednu 2015. Pojednává o historii geome-
trických transformací od nejstarších dob až do počátku 20. století.
Na základě primárních zdrojů dokumentuje první výskyt a následný vývoj
jednotlivých geometrických transformací. Zaměřuje se zejména na následující
typy transformací: shodnost, podobnost, geometrické pohyby, osová afinita, stejno-
lehlost, kruhová inverze, promítání, stereografická projekce, afinní transformace,
projektivní transformace a Cremonovy transformace. Přibližuje vybrané význam-
né okamžiky v historii geometrie, kdy se v souvislosti s transformacemi objevily
nové myšlenky. Na pozadí světového vývoje sleduje rovněž reakce na tyto nové
myšlenky a vliv na studovanou problematiku v našich zemích. Na několika místech
jsou navíc stručně komentovány vybrané partie českých učebnic geometrie, v nichž
se poprvé projevil nový přístup k některým tématům.
Práce je svým přístupem ke studované problematice původní, přináší sjedno-
cující pohled na historii geometrických transformací a popisuje složitou cestu,
kterou transformace během svého historického vývoje prošly. Je třeba mít na
paměti, že samotný pojem
transformace
se během staletí postupně vyvíjel a do
jisté míry proměňoval, symbolickému zápisu předcházely výhradně slovní formu-
lace, často trvalo několik desetiletí nebo i staletí, než se ustálila jednotná termino-
logie. Pro snadnější čtenářovu orientaci v dané problematice jsou v práci zařazeny
pasáže, které umožňují začlenit nové výsledky do historických i odborných souvis-
lostí. Obsaženy jsou rovněž stručné biografie předních matematických osobností,
které přispěly k rozvoji teorie geometrických transformací. Odborné geometrické
pojmy jsou průběžně vysvětlovány v poznámkách pod čarou.
  
Historie geometrických transformací je velmi bohatá. Sahá patrně až do doby
před
2 500
lety, kdy lze v dochovaných materiálech vystopovat jejich první ná-
znaky. Jednotlivé typy transformací byly často objevovány v souvislosti s řešením
různých praktických úloh a byly využívány nejen v geometrii, ale ve velké míře
i v dalších oborech lidské činnosti. Příkladem je užití perspektivy v malířství,
promítání ve stavitelství a astronomii nebo stereografické projekce při konstrukci
map v kartografii.
Geometrické transformace byly zpočátku chápány pouze jako vztah mezi rovin-
nými nebo prostorovými útvary. Teprve kolem 18. století se v souvislosti s trans-
formacemi začal uvažovat i vlastní proces zobrazování a geometrické transformace
se staly předmětem studia celé řady významných matematiků. V té době začaly
být postupně sepisovány souhrnnější práce věnované jednotlivým typům trans-
formací, a tím byly položeny základy obecné teorie, k nimž tehdy přispěla řada
matematiků z různých zemí světa.
3
Velký zájem o tuto problematiku v 18. a 19. století souvisel s tehdejším obec-
ným trendem v matematice, jímž byla jednak snaha o systematizaci dosavadních
poznatků, jednak touha po zobecňování již dosažených výsledků (do vyšších di-
menzí, pro složitější objekty apod.). Tento jev se nevyhnul ani geometrii, v níž
se od lineárních transformací rychle přešlo k transformacím vyšších stupňů, od
bodových transformací k transformacím spojitým nebo nejednoznačným, kdy jed-
nomu bodu mohou být přiřazeny dva nebo dokonce nekonečně mnoho bodů.
Prudký rozvoj matematiky vnesl do geometrie další podněty k systematic-
kému zkoumání, zejména křivky a plochy, jejichž studium položilo základy nových
odvětví geometrie, např. geometrie algebraické, projektivní a diferenciální. Pro-
ces specializace a tříštění geometrie byl završen objevem neeukleidovské geome-
trie. Nové geometrické metody pozměnily a obohatily naše chápání geometrického
prostoru a nastartovaly proces geometrizace, jenž zásadním způsobem ovlivnil ne-
jen matematiku, ale i moderní fyziku a naše vnímání jejich vzájemného vztahu.
V 19. století se začala zkoumat možnost klasifikace všech známých typů trans-
formací, a tím i jednotlivých geometrií. První zásadní krok v tomto směru učinil
August Ferdinand Möbius v
Barycentrickém počtu
. Pouze nedostatek formál-
ního, algebraického aparátu mu neumožnil uskutečnit zamýšlené pojetí klasifi-
kace různých geometrií. K němu dospěl až Felix Klein v
Erlangenském programu
.
Využil nejnovější poznatky teorie grup a teorie invariantů a aplikoval je na geo-
metrii. Pracoval s grupami transformací, které zachovávaly geometrické vlastnosti
útvarů a umožňovaly zformulovat jednotnou definici různých typů geometrií. Na
základě uspořádání grup geometrických transformací poté dospěl i k uspořádání
odpovídajících geometrií.
Koncem 19. a na počátku 20. století se pozornost matematiků soustředila na
zkoumání logických základů a vlastní struktury matematiky jako vědního oboru.
V geometrii se od názorných důkazů využívajících syntetickou geometrii přešlo
k formálnímu systému axiomů, z nichž bylo možno všechna tvrzení elementární
geometrie logicky odvodit.
  
Tato monografie kromě úvodního slova obsahuje šest kapitol, krátké závěrečné
zamyšlení a anglické resumé. V závěru je uveden seznam použité literatury a při-
pojen jmenný a věcný rejstřík.
První kapitola připomíná vybrané významné okamžiky z historie geometrie,
kdy se v souvislosti s transformacemi poprvé objevily některé nové myšlenky.
Pozornost se soustředila na následující typy transformací:
shodnost
,
podobnost
,
pohyby
,
osová afinita
,
stejnolehlost
,
kruhová inverze
,
promítání
,
stereografická pro-
jekce
,
afinní
a
projektivní transformace
. Výčet pravděpodobně není úplný, neboť
se některé informace nedochovaly, nebo se velmi obtížně dohledávají. Navíc není
snadné, a někdy ani není možné, přesně označit okamžik objevu a autora nové
myšlenky. Vývoj některých pojmů obsáhl několik staletí, měnila se terminologie
a symbolika, postupně se objevovaly nové a hlubší souvislosti.
4
 

. Výčet pravděpodobně není úplný, neboť
se některé informace nedochovaly, nebo se velmi obtížně dohledávají. Navíc není
snadné, a někdy ani není možné, přesně označit okamžik objevu a autora nové
myšlenky. Vývoj některých pojmů obsáhl několik staletí, měnila se terminologie
a symbolika, postupně se objevovaly nové a hlubší souvislosti.
4
Druhá kapitola pojednává o
Barycentrickém počtu
(1827). August Ferdinand
Möbius (1790–1868) v něm poprvé představil tzv. barycentrické (homogenní)
souřadnice, které umožnily nový přístup ke geometrickým transformacím. S je-
jich pomocí lze do transformace zahrnout i nekonečně vzdálené body v projektivní
rovině a uvažovat imaginární prvky. V Barycentrickém počtu je rovněž poprvé
obsažena algebraická charakteristika geometrických příbuzností.
Třetí kapitola rozebírá jako příklad složitějších geometrických transformací
Cremonovy
(
biracionální
)
transformace
. Jejich objev v letech 1863 až 1865 sou-
visel se studiem algebraických křivek a byl motivován přirozeným požadavkem
složitější křivky nejprve vhodně transformovat s cílem zjednodušit jejich popis.
Cremonovy transformace se brzy z pomocného nástroje proměnily v samostatný
objekt matematického zkoumání a podnítily rozvoj nové ucelené oblasti alge-
braické geometrie. Tato problematika našla odezvu i v českých zemích, zejména
v pracích Emila Weyra (1848–1894) a Bohumila Bydžovského (1880–1969).
Čtvrtá kapitola je věnována
Erlangenskému programu
(1872), jenž představuje
významný mezník ve vývoji geometrie 19. století, neboť na dlouhou dobu zásad-
ně ovlivnil zaměření a další rozvoj matematiky. Felix Klein (1849–1925) v něm
charakterizoval každou geometrii pomocí grupy geometrických transformací, které
zachovávají základní vlastnosti dané geometrie. Tento přístup mu navíc umožnil
jednotlivé geometrie logicky uspořádat. S ohledem na zařazení nových myšlenek
do dobového i odborného kontextu je v rámci této kapitoly podán stručný přehled
vývoje teorie grup a historie geometrie až do vzniku Erlangenského programu.
Pátá kapitola popisuje Kleinovy snahy o reformu matematického vzdělávání,
které vyvrcholily
Meranským programem
(1905). Jedním z jeho požadavků na
obsahové změny učiva bylo začlenění grup geometrických transformací do středo-
školské výuky. Toto evropské reformní hnutí mělo dopad i na situaci v českých
zemích. Byly zde sepsány nové učebnice, které měly reflektovat doporučené obsa-
hové i metodické požadavky na výuku. V rámci páté kapitoly jsou podrobně
rozebrány učebnice Bohumila Bydžovského a Jana Vojtěcha (1879–1953), které
podstatným způsobem na více než tři desetiletí ovlivnily výuku matematiky na
českých středních školách. Naše hlavní pozornost se přirozeně zaměřila na geo-
metrické transformace.
Šestá kapitola přibližuje
axiomatické základy geometrie
. První myšlenky mo-
derního přístupu k základům geometrie zformuloval Moritz Pasch (1843–1930)
a poté systematicky rozvinul David Hilbert (1862–1943). Ve svém stěžejním díle
Grundlagen der Geometrie
(1899) představil první úplný systém axiomů euklei-
dovské geometrie, včetně axiomů shodnosti, z nichž bylo možno všechna tvrzení
formálně odvodit. V dalším článku navíc poprvé obecně definoval pohyb v geo-
metrii jako vzájemně jednoznačnou spojitou transformaci roviny. Hilbertův axio-
matický systém oprávněně přitahoval pozornost světových i českých matematiků
ještě v polovině 20. století.
5
V závěru monografie je uveden seznam použité literatury. Sestává nejen z obec-
ných přehledových knih a článků o historii geometrie a dalších tematicky zamě-
řených prací, ale především z původních prací a jejich překladů. Při sepisování
monografie byly využity originály volně dostupné v digitalizované podobě na in-
ternetu a dále materiály z následujících institucí: Knihovna  Univerzity Karlovy v Praze, Knihovna Matematického ústavu Akademie
věd České republiky v Praze, Národní knihovna v Praze, Národní technická kni-
hovna v Praze, Státní technická knihovna v Praze, Městská knihovna v Praze,
Hauptbibliothek und Fachbibliothek für Mathematik der Technischen Universität
in Wien a Universitätsbibliothek in Wien.
  
Ráda bych na tomto místě poděkovala všem, kteří se mnou v uplynulých letech
o geometrických transformacích a jejich historii diskutovali. Velké poděkování
patří zejména mému školiteli,
Dana Trkovská
6
a