I. Sýkorová: Matematika ve staré Indii, 2016, 308 stran,

7
ÚVODNÍ SLOVO
Tato monografie je upravenou verzí mé disertační práce, kterou jsem sepsala během doktorského  studia na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy  v Praze a obhájila v červnu 2014. Je věnována historii indické matematiky od nejstarších poznatků obsažených ve starověkých védských textech až po znalosti uvedené v klasických středověkých aritmetických a algebraických dílech.
Hlavním motivem k sepsání této práce byla skutečnost, že neexistuje ucelený česky psaný textvěnovaný matematice ve staré Indii. Zmínil se o ní již Josef Úlehla v knize
Dějiny matematiky I vydané v roce 1901 (viz [Ul]), v se-
dmdesátých letech dvacátého století pak vyšel překlad knihy Adolfa Pavloviče
Juškeviče nazvané Dějiny matematiky ve středověku, v níž je indické matematice věnována druhá kapitola (viz [Ju]). Cílem mé práce bylo odstranit tento nedostatek a vytvořit knihu, kde jsou
podrobně popsány matematické znalosti, výpočetní postupy a aritmetické, algebraické a geometrické metody, které staří Indové znali a používali od starověku až do doby Nárájany, tj. do 14. století. Její přínos tedy spočívá ve vypracování rozsáhlého a uceleného českého textu, který je založen na překladu velkého množství původních úloh a analýze jejich řešení v současné matematické formulaci a symbolice. Některé zajímavé úlohy indické matematiky jsou též porovnány s podobnými úlohami, které byly řešeny ve staré Mezopotámii,
Egyptě, Řecku, Číně nebo v islámských zemích.
*   *   *
Kromě úvodního slova a závěru obsahuje kniha devět kapitol,
krátkou poznámku k sanskrtským textům a anglické resumé. Na konci je připojen seznam
použité literatury a rejstřík. První kapitola přináší stručný přehled dějin Indie. Specifické přírodní a klimatické podmínky umožnily osídlení Indického poloostrova mnoho tisíc let před
naším letopočtem. Vývoj společnosti i politická situace ovlivňovaly rozvoj vědy a vzdělávání. Hrubá orientace v historii tak přispívá k lepšímu pochopení vývoje indické matematiky.
Ve druhé kapitole je přiblížena nejstarší civilizace Indického poloostrova. Na
základě studia sekundární literatury (popis a analýza nejdůležitějších archeologických nálezů a výzkumů) je dokázána existence vysoce rozvinuté společnosti, přítomnost matematické vyspělosti a velké geometrické přesnosti užívané při plánování i výstavbě tehdejších měst. Zdá se pravděpodobné, že starověká civilizace v povodí Indu měla jednotný systém měr a vah založený n
a desítkovém základu. Nejstarší indické geometrické znalosti jsou obsaženy v tex
tech zvaných šulbasútry neboli pravidla  provazce
(1. tisíciletí př. n. l.), v nichž jsou uvedena
8 nejdůležitější pravidla používaná při stavbě obětních oltářů. Jejich překlad, analýza a matematický komentář jsou náplní třetí kapitoly. Ve čtvrté kapitole jsou shrnuty matematické poznatky z doby
kolem počátku našeho letopočtu. Výrazným impulzem rozvoje tehdejší mate
matiky byla džinistická kosmologie, která používala při výpočtech velká čísla a motivovala tak matematiky k zajímavým úvahám o nekonečnu. Poznamenejme, že v této době se rozvíjela také kombinatorika; např. prozodik Pingala (kolem roku 200 př. n. l.) popsal schéma binomických koeficientů, které dnes známe jako Pascalův trojúhelník. Za klasickou éru indické středověké matematiky bývá přední mi znalci historie matematiky považováno období počínající dílem Árjabhaty I ., tj. od 5. až 6. stol. n. l., a končící prací Nárájany, tj. 14. stoletím. Vzhledem k tomu, že
se jedná o poměrně dlouhé období, v němž působilo mnoho indických vědců a myslitelů a v němž vznikla řada textů, je v páté kapitole uveden komentovaný chronologický přehled nejvýznamnějších učenců a jejich nejdůležitejších děl.
Šestá kapitola analyzuje vývoj vyjadřování čísel a jejich zápisů a přibližuje
nejdůležitější proměny matematické terminologie. Protože náš dnešní zápis čísel v desítkové poziční soustavě má své kořeny v Indii, je této problematice věnována poměrně velká pozornost.
Se způsobem zápisu čísel velmi úzce souvisí provádění základních aritmetických operací – sčítání, odčítání, násobení a dělení. Staří Indové mezi ně řadili také výpočet druhé a třetí mocniny, druhé a třetí odmocniny a některé algoritmy, které dnes považujeme spíše za algebraické (např. pravidlo tří,
tj. trojčlenka, metoda falešného předpokladu, směšovací počet, úrokový počet).
Podstatnou součástí indické aritmetiky bylo též počítání s
e zlomky. Podrobný komentovaný popis a výklad indických algoritmů základních
aritmetických operací a metod je obsahem sedmé kapitoly.
Osmá kapitola se zabývá středověkou indickou algebrou, v ní
ž indičtí matematici patrně dosáhli největších úspěchů, a pojednává o o
bdobí od 6. do. století. Již tehdy indická algebra zahrnovala operace se zápornými čísly
a velmi obratné počítání s iracionalitami. Jejím hlavním tématem však bylo ře-
šení slovních úloh, které dnes reprezentujeme rovnicí s jednou neznámou nebo
rovnicemi s více neznámými. Indičtí učenci formulovali pravidla pro řešení li-
neárních a kvadratických rovnic a jejich soustav, zabývali se rovněž některými
rovnicemi vyšších stupňů a zejména neurčitými rovnicemi. Pozoruhodná je je-
jich metoda kuttaka, kterou užívali k řešení neurčité lineární rovnice se dvěma neznámými (tj. Tzv. diofantická rovnice) a algoritmus pro řešení tzv. Pellovy rovnice. Poznamenejme, že indičtí matematici neměli k dispozici dnešní názornou a propracovanou symboliku; neznámé, resp. operace označovali zkratkami slov, strany „rovnicÿ zapisovali pod sebou, algoritmy popi
sovali slovně a před-áděli je na konkrétních příkladech.
Devátá kapitola připomíná středověkou indickou geometrii. Obsahuje výklad tradičních i netradičních metod výpočtů obsahů základních rovinných útvarů a objemů těles. Připojeny jsou také četné zajímavé úlohy, jejichž vzorové řešení je komentováno a doplněno přehlednými a názornými obrázky.
Staří Indové se věnovali také astronomii, konali četná astronomická pozorování a měření, která přispěla k rozvoji rovinné a sférické trigonometrie. Dnes je všeobecné známo, že indické astronomické texty z počátku našeho letopočtu obsahují rozsáhlé tabulky hodnot sinů
(s krokem 3◦ 45′). Trigonometrii však indičtí učenci považovali jen za speciální astronomickou aplikaci geometrie a pozdější samostatné matematické texty ji již neobsahovaly. Proto ne byla do této práce zařazena.
Primárními prameny při zpracování této práce byly překlady
sanskrtských textů, vybrány byly zejména z knihy H. T. Colebrooka
Algebra, with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara(viz [Col]),1 práce Ganita-sara-sangraha  of  Mahaviracarya  with  English  Translation  and Notes, jejímž autorem je M. Rangacarya (viz [Ran]), 2 díla W. E. Clarka
The #Aryabhat#ıya  of #Aryabhat .a (viz [Cla]). 3 Jako další zdroje byly použity práce
K. S. Shukla: The P#at#ıgan
.
ita of
 ́
Sr#ıdhar#acarya
(viz [Shu1]),
4
P. Dvivedi:
The
Gan
.
ita-kaumud#ı by N#ar#ayan .a Pan.d.ita (Part II) (viz [DvP]), 5H. R. K#apad#ı#a: Ganita Tilaka by  ́Sr#ıpati (viz [KaHR]), a články A. B ̈urka:Das#Apastamba- ́ Sulba-S#utra
(viz [BuA1] a [BuA2]).
7
Podrobný a inspirativní přehled vývoje indické matematiky
je uvedenv dvoudílné monografii B. Datty a A. N. Singha: History  of  Hindu  Mathematics (part I and part II) (viz [DS1] a [DS2]), z novějších publikací je vhodné připomenout knihu Mathematics in India od K. Plofker (viz [Pl1]). Historií indické geometrie se zabývají například T. A. Sarasvati Amma v knize Geometry in Ancient and Medieval India (viz [SA]) a B. Datta, jenž je autorem práce Ancient Hindu Geometry: The Science of the Sulba (viz [Dat]).
*   *   *
Na tomto místě bych ráda poděkovala všem, kteří svými podněty a nápady pomohli ke vzniku a zkvalitnění této knihy. Je mou milou povinností poděkovat především svému školiteli, doc. RNDr. Jindřichu Bečvářovi, CSc., za cenné rady a věcné připomínky, které mě obohatily a motivovaly, a zejména za jeho laskavost a nekonečnou trpělivost, s jakou
1
Jedná se o překlad komentovaných matematických kapitol (12. a 18.) astronomické práce Bráhmasphutasiddhánta (Brahmagupta, 7. stol.) a dvou textů Bháskary II. (12. stol.
) – aritmetického Lílávatí
a algebraického Bídžaganita
Sanskrtský text matematika Mahávíry (9. stol.) s anglickým překladem a opatřený komentáři. Komentovaný překlad astronomické práce Árjabhaty I. (přelom 5. a 6. stol.).
Sanskrtský text Šrídhary (přelom 9. a 10. stol.) s anglickým
překladem. Sanskrtský text Nárájany (14. stol.) s anglickým překladem . Sanskrtský text Šrípatiho (11. stol.) s anglickým překladem.

Německý překlad Ápastambovy šulbasútry s podrobným výkladem. mě vedl v průběhu celého studia. Velký dík si zaslouží RNDr. Ivan Saxl, DrSc., který stál u nápadu věnovat se historii indické matematiky a upozornil mě na některé pozoruhodné výsledky indických učenců. Upřímně děkuji také oběma oponentům, doc. RNDr. Jiřímu Veselému, Csc. z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze, a RNDr. Magdaleně Hykšové, Ph.D. z Fakulty dopravní Českého vysokého učení technického v Praze, jejichž náměty přispěly k výsledné podobě monografie.
Speciální poděkování věnuji prof. PhDr. Jaroslavu Vackovi, CSc. z Ústavu jižní a centální Asie Filozofické fakulty Univerzity Karlovy za konzultace k sanskrtu, spousu času a energie, které mi ochotně a nezištně věnoval. Chtěla bych touto cestou rovněž vyjádřit poděkování RNDr. Evě Ulrychové, Ph.D. z Vysoké školy finanční a správní za pomoc s kontrolou rukopisu. Vřelý dík za morální podporu a pevné zázemí samozřejmě patří i mé rodině a přátelům.

Irena Sýkorová



3
OBSAH
Úvodní slovo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7
Poznámky k sanskrtským textům . . . . . . . . . . . . .  11
1 Indie  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  13
2 Civilizace údolí Indu   . . . . . . . . . . . . . . . . .  21
2.1  Objevení staré civilizace údolí Indu   . . . . . . . . . . . .   21
2.2  Mohendžodaro   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   22
2.3  Harappa a další města  . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24
2.4  Život . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   26
2.5  Matematické znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   30
2.6  Zánik civilizace údolí Indu   . . . . . . . . . . . . . . . .   32
3 Védské období  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  33
3.1  Obřady a oltáře  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   36
3.2  Šulbasútry   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   39
3.3  Pýthagorova věta   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   40
3.4  Geometrické konstrukce   . . . . . . . . . . . . . . . . .   42
3.5  Kombinace ploch   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   46
3.6  Transformace  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   48
3.7  Podobnost   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   56
3.8  Obsahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   58
3.9  Odmocniny  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   59
3.10 Zlomky   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   63
4 Matematika v džinistických a buddhistických textech  . . .  6
7
4.1  Geometrie – měření kruhu   . . . . . . . . . . . . . . . .   68
4.2  Velká čísla   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   71
4.3  Mocniny a odmocniny   . . . . . . . . . . . . . . . . . .   72
4.4  Kombinatorika   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   73
5 Klasická éra indické matematiky  . . . . . . . . . . . .  77
5.1  Árjabhata I. (asi 476 až 550)   . . . . . . . . . . . . . . .   78
5.2  Varáhamihira (asi 505 až 587)  . . . . . . . . . . . . . . .   78
4
5.3  Brahmagupta (asi 598 až 670)  . . . . . . . . . . . . . . .   78
5.4  Bháskara I. (asi 600 až 680)  . . . . . . . . . . . . . . . .   79
5.5  Lalla (asi 720 až 790)   . . . . . . . . . . . . . . . . . .   79
5.6  Rukopis
Bakhšálí
(asi 7. nebo 8. století)   . . . . . . . . . .   80
5.7  Govindasvámin (asi 800 až 860)  . . . . . . . . . . . . . .   82
5.8  Mahávíra (asi 800 až 870)   . . . . . . . . . . . . . . . .   82
5.9  Prthúdakasvámin (asi 830 až 890)  . . . . . . . . . . . . .   82
5.10 Šrídhara (asi 870 až 930)  . . . . . . . . . . . . . . . . .   82
5.11 Árjabhata II. (asi 920 až 1000)   . . . . . . . . . . . . . .   83
5.12 Šrípati (1019 – 1066)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   83
5.13 Bháskara II. (1114 – 1185)   . . . . . . . . . . . . . . . .   84
5.14 Nárájana (asi 1340 až 1400)   . . . . . . . . . . . . . . .   86
6 Čísla  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  87
6.1  Nepoziční zápis čísel  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   95
6.2  Nula  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   99
6.3  Desítková poziční soustava   . . . . . . . . . . . . . . . .  102
6.4  Vyjádření čísel speciálními slovy  . . . . . . . . . . . . . .  104
6.5  Vyjádření čísel písmeny   . . . . . . . . . . . . . . . . .  105
6.6  Šíření indických čísel  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  110
7 Aritmetika   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   115
7.1  Operace s nulou  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  119
7.2  Sčítání  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  121
7.3  Odčítání  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  122
7.4  Násobení  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  124
7.4.1  Metoda dveřního pantu   . . . . . . . . . . . . . .  125
7.4.2  Metoda křížového násobení  . . . . . . . . . . . . .  128
7.4.3  Násobení oddělením míst  . . . . . . . . . . . . . .  129
7.4.4  Metoda cikcak   . . . . . . . . . . . . . . . . . .  129
7.4.5  Metoda násobení po částech   . . . . . . . . . . . .  130
7.4.6  Algebraická metoda   . . . . . . . . . . . . . . . .  131
7.5  Dělení   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  132
7.5.1  Metoda dlouhého dělení   . . . . . . . . . . . . . .  133
7.6  Druhá mocnina  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  136
7.7  Druhá odmocnina  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  140
7.8  Třetí mocnina  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  142
7.9  Třetí odmocnina   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  146
7.10 Zlomky   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  148
5
7.10.1  Sčítání a odčítání  . . . . . . . . . . . . . . . . .  153
7.10.2  Násobení   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  154
7.10.3  Dělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  155
7.10.4  Druhá mocnina a druhá odmocnina  . . . . . . . . .  155
7.10.5  Třetí mocnina a třetí odmocnina  . . . . . . . . . .  156
7.10.6  Třídy výrazů se zlomky  . . . . . . . . . . . . . .  156
7.11 Pravidlo tří  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  164
7.12 Obrácené pravidlo tří   . . . . . . . . . . . . . . . . . .  165
7.13 Pravidlo pěti, sedmi, devíti, jedenácti   . . . . . . . . . . .  1
66
7.14 Výměnný obchod   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  168
7.15 Určení  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  169
7.16 Různé úlohy   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  169
7.16.1  Metoda chybného předpokladu  . . . . . . . . . . .  169
7.16.2  Metoda inverze  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  173
7.16.3  Operace samkramana  . . . . . . . . . . . . . . .  174
7.16.4  Úroky  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  175
7.16.5  Rozdělování v daném poměru   . . . . . . . . . . .  182
7.16.6  Počítání jemnosti zlata   . . . . . . . . . . . . . .  183
7.16.7  Kombinatorika  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  183
7.16.8  Úlohy o pohybu   . . . . . . . . . . . . . . . . .  187
7.17 Posloupnosti   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  189
7.17.1  Aritmetická posloupnost  . . . . . . . . . . . . . .  189
7.17.2  Geometrická posloupnost   . . . . . . . . . . . . .  193
7.17.3  Jiné posloupnosti  . . . . . . . . . . . . . . . . .  195
7.18 Devítková zkouška  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  196
7.19 Magické čtverce  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  196
8 Algebra  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   199
8.1  Terminologie a symbolika  . . . . . . . . . . . . . . . . .  201
8.2  Operace se zápornými čísly  . . . . . . . . . . . . . . . .  204
8.3  Operace s iracionalitami   . . . . . . . . . . . . . . . . .  205
8.4  Operace s mnohočleny  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  212
8.5  Rovnice   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  214
8.6  Rovnice s jednou neznámou  . . . . . . . . . . . . . . . .  215
8.6.1  Lineární rovnice s jednou neznámou  . . . . . . . . .  215
8.6.2  Kvadratické rovnice s jednou neznámou   . . . . . . .  217
8.6.3  Rovnice vyšších stupňů  . . . . . . . . . . . . . . .  221
8.7  Soustavy rovnic  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  223
8.7.1  Soustavy lineárních rovnic se dvěma neznámými  . . . .  22
3
8.7.2  Soustavy lineárních rovnic s více neznámými   . . . . .  224
8.7.3  Soustavy nelineárních rovnic   . . . . . . . . . . . .  228
8.8  Neurčité lineární rovnice   . . . . . . . . . . . . . . . . .  230
6
8.9  Pellova rovnice   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  246
8.10 Neurčité rovnice vyšších stupňů  . . . . . . . . . . . . . .  257
8.11 Rovnice se součinem neznámých  . . . . . . . . . . . . . .  258
8.12 Dvojité rovnice  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  263
8.13 Vícenásobné rovnice  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  272
9 Geometrie  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   277
9.1  Rovinné obrazce  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  277
9.1.1  Trojúhelník  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  277
9.1.2  Čtyřúhelník  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  289
9.1.3  Kruh, kružnice   . . . . . . . . . . . . . . . . . .  297
9.1.4  Elipsa   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  302
9.1.5  Měření pomocí stínů  . . . . . . . . . . . . . . . .  302
9.2  Tělesa, objemy těles  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  304
9.2.1  Výkopy   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  304
9.2.2  Zásoby cihel   . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  306
9.2.3  Hromady obilí . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  306
9.2.4  Koule   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  307
Závěr  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   309
Summary  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   311
Seznam literatury   . . . . . . . . . . . . . . . . . .   323
Rejstřík  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   333