Úvod

Vývoj infinitní matematiky ve dvacátém století se řídiil – aniž si toho matematici

byli vědomi – programem, který v knize Paradoxy nekonečna3

nastolil následujícími i takřka prorockými slovy Bernard Bolzano:

Jde tedy již jen o to, zda budeme schopni určit, co je nekonečno

vůbec, a to výkladem toho, co se nazývat nekonečným

množstvím. Tak by tomu tak bylo, kdyby se ukázalo,

že přísně vzato neexistuje nic jiného než právě množství nač

lze pojem nekonečna aplikovat, to je kdyby se ukázalo, že

nekonečnost je pouze určitou skladbou množství neboli že

všechno, co prohlašujeme za nekoneční nazýváme tak jen

proto, pokud na něm pozorujeme skladbu, která se dá pojímat

jako nekonečné množství

Ve dvacátém století zajišťovala tento program Georgem Cantorem

usměrnění teorie klasicky nekonečných množin, a to tak důsledně, že

jednotlivé matematické disciplíny začaly být budovány jako její více či

méně přirozená součásti. Teorie množin má ovšem i svůj vlastní předmět

studia, jímž jsou množiny jako takové. jejich skladby a vztahy mezi nimi.

Přitom jednou z hlavních náplní tak říkajíc čisté teorie množin je

zkoumání nedozírných velikostí klasického nekonečna.

Vývoj některých vybraných matematických disciplín, budovaných na

podkladě Cantorovy teorie množin, je stručně zachycen v knize Vyprávění

o kráse novobarokní matematiky.

Kniha, kterou nyní dostává čtenář do ruky, je věnována čisté teorii

množin, přičemž mnohé z jejích oddílů jsou převzaty v doslovném znění

z výše uvedené knihy. Její první dvě čáti jsou věnován y Cantorově teorii

množin. Téměř všechny poznatky v nich obsažené byly známé již

před rokem 1963. Nejsou zde uvedeny ani poznatky o nedosažitelných

Bolzano, B. (1851). Paradoxien des Unendlichen, C. H. Reclam sen, Leipzig.

Bolzano, B. (1963). Paradoxy nekonečna, Československá akademie věd, Praha; přeložil

Otakar Zich.

Vopěnka, P. (2004). Vyprávěn ío kráse novobarokní matematiky, Práh, Praha.

13

14 úvvod

kardinálech. Obrovský rozvoj těchto poznatků získaných po tomto roce

nalezne čtenř v knize The Higher Infinite 5

Ve třetí části této knihy je řešen problém pravdy v Cantorově teorii

množin, a sice prostřednictvím  tam zavedené universální teorie klasických

množin. V této části knihy se odvolává na některé poznatky

získané po roce 1963, aniž bych uváděl jejich důkazy.

Můj dík patří Magdaleně, Ondřeji Chvojkovi, kteří opravili

některé chyby v mém textu a pomohli při technickém zpracování této

knihy. Dále bych chtěl poděkovat Kateřině Antalovské, Jakubovi

Hrazdirovi a Janu Zelinkovi za pečlivé pročtení textu.

Mimořádnou záluhu o vydání této knihy má Marie Benediktová

Větrovcová, která se zasloužila o konečnou podobu této publikace a doplnila

text této knihy o podrobné redakční poznámy (označení[MBV];

pro rozlišení jsou moje označení [PV]).

Petr Vopěnka