SPOR O MATEMATIZACI SVĚTA

KNIHA JE VYPRODANA

P. Kůrka (ed.), A. Matoušek (ed.), B. Velický (ed.)

Podrobnější info o obsahu, další info zveřejním už brzo

Spor o matematizaci světa

Odkud se bere nepochopitelná efektivnost matematiky? Jaká je specifičnost matematického poznání vzhledem k jiným druhům poznání? Jakou roli zde hraje pythagorejská filosofie, která vidí podstatu světa v číselných vztazích? Jakou roli hraje v matematice a ve fyzice estetika? Do jaké míry jsou matematické a fyzikální teorie ovlivněny sociální realitou? To jsou jen některé z otázek, které si na společných seminářích kladli filosofové, matematici a fyzici z Centra pro teoretická studia UK v Praze. Jejich někdy až dosti protichůdné názory a poznatky přináší předkládaná publikace.

                Obsah

Předmluva

B. Velický: Matematizovaná přírodověda

Roman Kotecký: Na rozhraní mezi matematikou a fyzikou

Pavel Krtouš: Pravdivost v matematice a zkušenost

Kateřina Trlifajová: Logika jako matematizace myšlení

Miroslav Holeček: Nekonečnost a názor

Petr Kůrka: Matematické pojmy, objekty a názor

Tomáš Pasák a Petr Kůrka: Matematizace kontinua

Marie Benediktová Větrovcová Zrození aritmetického a algebraického kalkulu

Ivan Chvatík: Dvojí druh apriorního poznání v Platonových dialozích

Jan Kuneš Novověká matematizace, Heidegger a Kant

Ondřej Beran Jazyk, barvy a matematizace?

Michal Ajvaz: Číslo a jsoucno

Alexander Matoušek: Matematizace a ovládnutí přírody

PREDMLUVA

Kniha Isaaca Newtona Philosophiae naturalis principia mathematica, publiko-vana roku 1687, se stala zakladatelskym dilem novovSke matematicke pfirodo-v£dy. Vznik novoveke matematicke pfirodovedy je uzlovym dejinnym bodem, od ktereho se odviji moderai porozumeni pfirodnim jevum a procesum. To vedlo k jejich ovladani ci ovlivnovani a k bezprecedentnimu rozvoji technologie. New-tonova mechanika vysv&luje jedinym jednoticim principem pohyby pozemskych i nebeskych teles a s pfekvapujici pfesnosti umozfluje jejich pfedvidani. Stala se vzorem, podle ktereho se rozvijely dalsl oblasti matematicke pfirodovedy - Mon-geova geodezie a Lavoisierova chemie v 18. stoleti, Carnotova termodynamika a Maxwellova elektrodynamika v 19. stoleti a nakonec i teorie relativity a kvan-tova mechanika ve 20. stoleti.

Newtonova mechanika ovsem nevznikla ve vzduchoprazdnu. Nebylaby mozna bez renesancniho znovuodkryti anticke pfirodov^dy, bez Kopernikova pythago-rejskeho heliocentrickeho nahledu, bez Galileiho koncepce setrva6nosti nebo bez Keplerovych zakonu planetaraich pohybu. Moderni pfirodovedu take nelze cha-pat oddelene od filosofie a matematiky. SouCasny zrod filosofie a matematiky v antickem Recku byl tim prvotnim impulsem, od ktereho se matematicka pfiro-dov^da zacala odvijet, pfestoze byl jeji rozvoj na dlouhou dobu pferu§en upad-kem helenske kultury pod Rimskou nadvladou.¹ Vznik matematicke pfirodovSdy ovsfem podstatn^ ovlivnili i renesanfini a novoveci filosofove MikulaS Kusansky, Rene Descartes nebo Gottfried Wilhelm Leibniz.

Matematicka pfirodovSda se ov§em rozviji v uzke navaznosti na pokroky v ma-tematice. Newtonovu vykonu pf edchazel rozvoj Vietova a Descartova matematic-keho symbolismu, ktery umoznil vznik algebry a analytick^ geometrie. Sam New­ton je spolu s Leibnizem objevitelem diferencialniho a integralniho po5tu, ktery umoznuje formulovat fyzikalni zakony jako diferencialni rovnice a ktery pfed-stavoval silny impuls pro rozvoj matematiky. Cele 18. stoleti se nese ve znameni matematizace fyziky a s tim souvisejiciho rozvoj e infmitesimalniho pofctu.

V19. stoleti se vsak matematika od fyziky zacina odpoutavat, za£inaji se rozvi-jet abstraktnej§i oblasti motivovane £ist£ matematickymi problemy, ktere nemusi mit nutnS fyzikalni interpretaci. Evariste Galois tvofi teorii grup, motivovanou fe-§enim algebraickych rovnic, a Loba£evskij s Bolyaiem objevuji neeukleidovsk^

Viz L. Russo, The Forgotten Revolution, Springer-Verlag, Berlin 2004.

geometric. Bolzanovo a Abelovo pojeti teorie funkci vede k aritmetizaci analyzy s mnohem vetsi rigoroznosti. Tento vyvoj kulminuje v druhe polovine 19. stoleti Cantorovou teorii mnozin, ktera matematicky svSt zavratnym zpusobem rozpina. Vznika teorie aktualne nekonecnych mnozin, jejichz mohutnosti (velikosti) tvori nekonecnou hierarchii.

Je pozoruhodne, ze mnohe pojmy fiiste matematiky, motivovane vnitfnim roz-vojem matematiky a fe§enim Siste matematickych problemu, se staly zakladem, na kterem byly vybudovany pozdejsi fyzikalni teorie. Riemannova diferencialni geometric z poloviny 19. stoleti se stala matematickym zakladem obecne teorie relativity. Abstraktni teorie operatoru na Hilbertovych prostorech se stala zakla­dem kvantove mechaniky.

Paralelni rozvoj novov£ke filosofie, matematiky a fyziky vede k otazkam po jejich vzajemnem vztahu, po podminenosti matematickych a fyzikalnich teorii filosofickymi doktrinami a po zp^tnem vlivu techto teorii na filosofii.

Jakym zpusobem se fyzika matematizuje a jak podminuje a ovlivnuje vyvoj matematiky? Odkud se bere ona Wignerova ,,nepochopitelna efektivnost mate­matiky"?² Jaka je specificnost matematickeho poznani vzhledem kjinym druhum poznani? Jaky je vzajemny vztah intuice, nazoru a logjky v matematice? Jaky je rozdil mezi popisnymi matematickymi modely, ktere si nekladou jine cile nez reprodukovat a pfedvidat jevy, a teoretickymi modely, ktere aspiruji na vysv£t-leni a pochopeni podstaty studovanych jevu? Jakou roli zde hraje pythagorejska filosofie, ktera vidi podstatu sv§ta v ciselnych vztazich? Jakou roli hraje v mate­matice a ve fyzice estetika? Je krasa rovnice £i teorie kriteriem jeji adekvatnosti? Neni toto esteticke kriterium zavadejici a nediskvalifikuje realistictejsi a vernej§i modely? Do jake miry j sou matematicke a fyzikalni teorie ovlivnSny socialni rea-litou? Jsou to socialni konstrukce, ktere zavisi na jedinecnem historickem vyvqji, anebo matematicke formy existuji v odvekem a nemfennem platonskem svetg?

To byly otazky, ktere jsme si kladli na seminafi Matematizace ve v$de. Probihal v letech 2010 - 2011 v Centru pro teoreticka studia³ a volnS navazoval na pfed-chazejici Seminar opfirozenem sv$t$ z let 2008 - 2009. Ten byl inspirovan dilem Edmunda Husserla a Jana Patocky a vznikla z nfeho kolektivni studie Spor opfiro-zeny svgt.⁴ Jiz v tomto seminafi o pfirozen&n sv&e vyvstavaly otazky po vztahu v&iy a pfirozeneho sv^ta a Seminar o matematizaci ve vede je dale rozvijel. Na seminafi se schazeli filosofove, matematici a fyzici, ktefi pfedkladali Sasto dost protichudne pohledy vedouci k ostrym kontroverzim. V kolektivni studii, kterou

²    E. Wigner, ,,The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences", Com­
munications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I, February 1960, s. 1-14.

³    Centrum pro teoretick£ studia (CIS), spolecne pracoviSte' Univerzity Karlovy v Prazs
a Akademie v6d Ceske" republiky, Jilska 1, Praha 1, www.cts.cuni.cz.

⁴    B. Velicky, K. Trlifajova, P. Kouba et al., Spor oprirozeny svSt, FE.OSOFIA, Praha 2010.

                                                                                                                                                                     pfedkladame, jsme neobru§ovali hrany techto sporu. Doufame, ze nahled na tyto otazky se zjevi pravS v pluralite zaznamenanych nazoru,

Bedfich Velicky ukazuje, jak jsou ve fyzice otazky fyzikalni nerozlufinS spjaty s jejich matematickou reformulaci. Ta poskytuje nejen velmi pfesny jazyk, ale umoznuje vykroCeni do oblasti prostemu uvazovani nepfistupne, zejmena ve fy­zice mlkrosveta. Paradigmaticke pfelomy ve fyzice byly zpravidla doprovazeny novym matematickym ramcem. Vyznamne fyzikalni objevy £asto vznikaly ne pod tlakem akumulovaneho experimentalniho materialu, nybrz podnetem byl teore-ticky, spekulativni napad inspirovany a neseny matematickym formalismem. Do-savadni vyvoj fyziky pln§ potvrzuje toto jedinecne prolnuti fyziky a matematiky, Wigneruv ,,zazrak", nezavisle na jeho metafyzickych zduvodnenich.

Roman Kotecky poukazuje na rozdilnou matematickou kulturu, ktera vladne v komunitach matematickych a teoretickych fyziku. Zatimco se matematicky fy-zik pfi svem odvozovani a vypofitech striking drzi postupu souCasne matematiky, teoreticka fyzika si vyvinula jakousi intuitivni ,,praktickou matematiku", ktera na uplnou rigoroznost rezignuje.

PavelKrtouS fika, ze matematika hraje roli jazyka, ktery nam umoznuje vy-slovovat vyroky o sv£t£. Je to jazyk s pfesnymi pravidly, ktere umoznuji kon-struovat rozsahle my§lenkove struktury drzici pohromadS skrze vnitfni logickou konsistenci. Tyto myslenkove konstrukce v§ak ziskavaji obsah, teprve kdyz jsou vysloveny jako sdeleni o naslch zkusenostech. Idealni matematicky sv&a neob-jevujeme, nybrz ho budujeme pfi nas"em pokusu poznat okolni sve"t.

Katefina Trlifajovd pfedvadi, ze logicke zakony, ktere pevnS a ufiinnS svazuji matematicke teorie, j sou zobecn&iim pravidel racionalniho mysleni a byly pfijaty na podkladS zku§enosti s konecnymi mnozinami. Aby se rozSifila jejich platnost i pro nekonecn^ mnoziny, byl pfijat pfedpoklad aktualni nekonednosti mnozin. Axiomaticky system teorie mnozin sice vylucuje paradoxy, ale jako jeho logicke dusledky vznikaji objekty, ktere nemaji v realnem sv&£ interpretaci.

Miroslav Holecek se vraci k otazce vztahu matematiky a realneho sveta. Po­ukazuje na zasadni roli apriorniho nazoru, ktery umozftuje vstup do idealniho matematickeho svgta. PodrobnS rozebira apriorni aritmeticky nazor, ktery nam umoznuje porozumet pojmu ,,poiet prvku" i u libovoln§ velkych uskupeni a cha-pat potencialni nekonefino. Propojenim tSchto dvou aspektu aritmetickeho nazoru v ramci pfedstavy ,,aktualniho nekonedna" se ov§em dostaneme do situace, ktera se nazornosti vzpira.

Petr Kurka naproti tomu ukazuje, jak matematika 19. stoleti pfekonala uzky kantovsky nazor trojrozm^rneho prostoru a jednorozmgmeho fiasu a vydala se na cestu k abstraktnim strukturam. Tato moderni matematika se sice take fidi nazo-rem, ten vsak neni staticky, ale m^ni se tak, jak se vyviji nase znalost matema­tickych objektu a jak se objevuji podobnosti a analogic mezi ruznymi oblastmi matematiky. Takove analogic vedou k hlubslmu pochopeni studovanych struktur a k formulaci obecnejsich teorii, ktere odhaluji podstatu studovanych vztahu.

pfedkladame, jsme neobru§ovali hrany techto sporu. Doufame, ze nahled na tyto otazky se zjevi pravS v pluralite zaznamenanych nazoru,

Bedfich Velicky ukazuje, jak jsou ve fyzice otazky fyzikalni nerozlufinS spjaty s jejich matematickou reformulaci. Ta poskytuje nejen velmi pfesny jazyk, ale umoznuje vykroCeni do oblasti prostemu uvazovani nepfistupne, zejmena ve fy­zice mlkrosveta. Paradigmaticke pfelomy ve fyzice byly zpravidla doprovazeny novym matematickym ramcem. Vyznamne fyzikalni objevy £asto vznikaly ne pod tlakem akumulovaneho experimentalniho materialu, nybrz podnetem byl teore-ticky, spekulativni napad inspirovany a neseny matematickym formalismem. Do-savadni vyvoj fyziky pln§ potvrzuje toto jedinecne prolnuti fyziky a matematiky, Wigneruv ,,zazrak", nezavisle na jeho metafyzickych zduvodnenich.

Roman Kotecky poukazuje na rozdilnou matematickou kulturu, ktera vladne v komunitach matematickych a teoretickych fyziku. Zatimco se matematicky fy-zik pfi svem odvozovani a vypofitech striking drzi postupu souCasne matematiky, teoreticka fyzika si vyvinula jakousi intuitivni ,,praktickou matematiku", ktera na uplnou rigoroznost rezignuje.

PavelKrtouS fika, ze matematika hraje roli jazyka, ktery nam umoznuje vy-slovovat vyroky o sv£t£. Je to jazyk s pfesnymi pravidly, ktere umoznuji kon-struovat rozsahle my§lenkove struktury drzici pohromadS skrze vnitfni logickou konsistenci. Tyto myslenkove konstrukce v§ak ziskavaji obsah, teprve kdyz jsou vysloveny jako sdeleni o naslch zkusenostech. Idealni matematicky sv&a neob-jevujeme, nybrz ho budujeme pfi nas"em pokusu poznat okolni sve"t.

Katefina Trlifajovd pfedvadi, ze logicke zakony, ktere pevnS a ufiinnS svazuji matematicke teorie, j sou zobecn&iim pravidel racionalniho mysleni a byly pfijaty na podkladS zku§enosti s konecnymi mnozinami. Aby se rozSifila jejich platnost i pro nekonecn^ mnoziny, byl pfijat pfedpoklad aktualni nekonednosti mnozin. Axiomaticky system teorie mnozin sice vylucuje paradoxy, ale jako jeho logicke dusledky vznikaji objekty, ktere nemaji v realnem sv&£ interpretaci.

Miroslav Holecek se vraci k otazce vztahu matematiky a realneho sveta. Po­ukazuje na zasadni roli apriorniho nazoru, ktery umozftuje vstup do idealniho matematickeho svgta. PodrobnS rozebira apriorni aritmeticky nazor, ktery nam umoznuje porozumet pojmu ,,poiet prvku" i u libovoln§ velkych uskupeni a cha-pat potencialni nekonefino. Propojenim tSchto dvou aspektu aritmetickeho nazoru v ramci pfedstavy ,,aktualniho nekonedna" se ov§em dostaneme do situace, ktera se nazornosti vzpira.

Petr Kurka naproti tomu ukazuje, jak matematika 19. stoleti pfekonala uzky kantovsky nazor trojrozm^rneho prostoru a jednorozmgmeho fiasu a vydala se na cestu k abstraktnim strukturam. Tato moderni matematika se sice take fidi nazo-rem, ten vsak neni staticky, ale m^ni se tak, jak se vyviji nase znalost matema­tickych objektu a jak se objevuji podobnosti a analogic mezi ruznymi oblastmi matematiky. Takove analogic vedou k hlubslmu pochopeni studovanych struktur a k formulaci obecnejsich teorii, ktere odhaluji podstatu studovanych vztahu.

Tomds Pazak a Petr Kurka davaji do kontrastu matematicky platonismus, ktery pfedpoklada svet matematicky ch objektu, umisteny mimo lidsky svet, a konstruk-tivismus, ktery naopak haji pozici absolutni svobody, kdy v ramci nami nastave-nych pravidel vytvafime matematicke objekty a zkoumame vztahy, nebo naopak nastavujeme vztahy a zkoumame, zda jim vyhovuji nejake objekty. Ukazuji, ze intuitivni pifedstava kontinua byla v matematice zachycena tfemi ruznymi zpu-soby.

Marie Benediktova Vetrovcova ukazuje, jak se vznikajici algebraicky kalkul opM o feckou geometrii a profi arabske aritmeticke umeni bylo prulomove diky zavedeni novych prvku do matematiky - algoritmu a abstraktniho uchopeni poctu jakozto cisla.

Ivan Chvatik probira, jak jsou v Platonovych dialozich pouzivany pojmy ,,ma-thema" a ,,fronesis". Sleduje, jaky vyznam ma ,,mathema" v deduktivnich dis-ciplinach na rozdil od pouziti tohoto pojmu v oblasti lidskeho jednani, jak se to ukazuje v dialogu Menon a v Ustave. PokouSi se objasnit ulohu sokratovske dia-lektiky pfi zakladani deduktivnich disciplin a ulohu ideje dobra v tomto procesu.

Jan Kunes se venuje pojmu vedy a matematizace u Martina Heideggera. Hei­degger vysvetluje vznik teoretickeho postoje z pfirozeneho postoje jako tihnuti lidske existence k plnemu uplameni a realizaci vlastnich aprioraich struktur ro-zum6ni, ktere se vyslednfe artikuluji jako struktury vedeni. Heideggeruv existen-cialni pqjem vedy a matematizace je v teto podobS moderni obhajobou a reinter-pretaci kantovstvi, jehoz hlavni tezi Kunes v zav&ru pfedstavuje,

Ondfej Beran poukazuje na omezeni moznosti matematizace. Na pfikladu teo-rie Zakladnich pojmu barev ukazuje, jak tato teorie selhava v pfeceneni matema­ticky ch nastroju a jejich dosahu, tedy v torn, ze 6ini z mapy/modelu, ktery ma dilci a kontextovS podminene pouziti, pfedpis.

Michal Ajvaz sleduje spolecne vyvstani jsoucna a kvantitativna. Taze se, jak se struktury kvantitativni oblasti dostavaji do zkuSenosti, v jakem deni jsou zalo-zeny, jake maji na tomto zakladS ve zkusenosti misto a jak na teto roving nabyvaji smyslu; na zavSr klade otazku, zda zaloieni jsoucna a £isla v temze strukturuji-cim pohybu neskyta nadeji na pfekonani rozporu mezi exaktnimi a humanitnimi vedami.

Alexander MatouSek pfipomina Galileuv a Descartuv program universalni ma­tematizace a analyzuje hlavni duvody, pro5 je tento projekt tak uspesny, pro6 se matematizace stala tak u&nnym nastrojem k ovladani pfirody. Text se rovnez po-kougi nastinit hranice matematizujiciho poznani a ukazat, kvuli 6emu j e tfeba tyto hranice znat.

Praha, Hstopad2011

Petr Kurka