Mýtus nekonečno  Zamarovský, Peter

brožovaná,  324 str., 1. vydání

vydáno: řijen 2018
ISBN 9788024638379
doporučená cena:  370 Kč

Kniha se skládá z esejisticky pojatých kapitol z historie
a filosofie matematiky a fyziky. Čtenář v ní nalezne
množství poznatků, úvah i spekulací, které se dotýkají
tématu nekonečna. Výklad je doplněný řadou citátů,
které autorovy úvahy potvrzují i zpochybňují, aby tak

ilustrovaly spletitou cestu poznání.

Peter Zamarovský:

Mýtus nekonečno

Věnováno památce prof. Petra Vopěnky, matematika a vizionáře

O ČEM A PRO KOHO JE TATO KNIHA

Ve své knize líčím tisíciletý příběh lidského ducha, který se pokouší představit nepředstavitelné, pochopit nepochopitelné, vymezit nevymezitelné, spočítat nespočitatelné. Příběh nekonečna. Jde o kritický, historicko-filosofický pohled do skrytého zákulisí matematiky a fyziky, o úvahy a podněty k zamyšlení, a potěšilo by mne, kdyby tu a tam i k pobavení.

Knihu jsem zamýšlel pro širší spektrum zájemců, od zvídavých laiků a studentů, pro které je ryze odborná literatura nestravitelná, až po matematiky a fyziky, kteří se zajímají o hlubší zázemí svých věd. Doufám, že v ní naleznou něco zajímavého i sami historikové a filosofové vědy. Téma jsem pojednal lehčím esejistickým stylem. Pro lepší srozumitelnost zjednodušuji, co lze. Doufám, že ne i to, co nelze. (Nemyslím totiž, že by matematický text měl být srozumitelný pouze matematikům, fyzikální fyzikům a filosofický jen hrstce filosofů, jak tomu nezřídka bývá. A jak zmínil Stephen Hawking, „každá rovnice snižuje počet čtenářů na polovinu“. Nehodlám tedy laskavého čtenáře matematikou příliš obtěžovat. Matematikům se za to omlouvám.) Nekonečno není samo-zřejmé, nejeví se, alespoň se nejeví přímo. Téma nekonečna zabíhá do oblastí, se kterými nemáme přímých zkušeností. Branou k nekonečnu se tak stává až filosofie matematiky a fyziky, vědomá i ta ležící v hloubi našeho nevědomí. V knize se snažím tyto filosofické přístupy vystihnout a rozebírám jejich dopad na chápání nekonečna. Pozornost přitom věnuji i směrům novým a netradičním, o kterých se popularizační literatura nezmiňuje. (Nejen popularizační, často ani ta odborná.) Jsou to ale právě tyto směry, které umožňují uvidět nekonečno v novém světle, v jiné perspektivě.

To se týká i koncepcí nedávno zesnulého českého matematika profesora Petra Vopěnky, jemuž je má kniha věnována. Petra Vopěnky si velmi vážím, i když s ním (stejně jako s ostatními) občas polemizuji. Jak však lépe oslavit myslitele, než debatou o jeho názorech? Myšlenky, o kterých se nediskutuje, jsou mrtvé.

Kniha sestává z osmi kapitol a ze shrnujícího závěru, který tvoří kapitolu devátou. První a osmá kapitola vytvářejí jakýsi obecný filosofický rámec. Osu ostatních pak tvoří historie představ o nekonečnu. Od základního textu jsou odlišeny vsuvky: rozličné zajímavosti, historické odbočky, jakož i náročnější a spekulativnější partie. Vyprávění jsem doplnil řadou citátů, rozličných bonmotů, které zmiňované názory podporují i zpochybňují, aby tak ilustrovaly spletitou cestu poznání.

OBSAH

Poděkování /9

Předmluva Jiřího Grygara /11

ÚVODEM /15

O čem a pro koho je tato kniha /16

1 NEKONEČNO – BRÁNA K FILOSOFII MATEMATIKY /18

1.1 Zajatci filosofie včerejška /18

1.2 Co značí pojem „nekonečno“? /21

1.3 Pojem „existence“ /22

1.4 Existence čísel /41

2 PRANEKONEČNO /48

2.1 Nekonečno před Řeky /48

2.2 Řekové a APEIRON /51

2.3 Nekonečno a Aristotelés /71

2.4 Archimédés, velmi veliká čísla a nekonečno /79

3 NEKONEČNO STŘEDOVĚKÉ A RENESANČNÍ /82

3.1 Sv. Augustin a aktuální nekonečno /82

3.2 Nekonečno a Tomáš Akvinský /87

3.3 Znovuotevření nekonečného prostoru /94

4 RÁJ NEKONEČNÝCH MNOŽIN /114

4.1 Prehistorie /114

4.2 Hrubá síla nekonečna /122

4.3 Bernard Bolzano, praotec teorie množin /132

4.4 Cantorův matematický ráj /138

4.5 Důsledky Cantorovy teorie /176,

5 VYHÁNĚNÍ Z RÁJE /187

5.1 Bourání babylónské věže /188

5.2 Alternativní nekonečno Petra Vopěnky /201

6 DRUHÁ FRONTA: ZÁPAS O NEKONEČNĚ MALÉ /233

6.1 Zrod infinitezimálů a infinitezimálního počtu /234

6.2 Smrt infinitezimálů /242

6.3 Zmrtvýchvstání infinitezimálů /245

7 NEKONEČNO, FYZIKA A REÁLNÝ SVĚT /249

7.1 Nekonečno co do přesnosti /251

7.2 Nekonečně malé a fyzika /253

7.3 Nekonečně veliké a fyzika /254

7.4 Relativita nekonečna? /263

7.5 Princip skromnosti a princip výlučnosti /282

7.6 Nekonečno paralelních vesmírů – sci-fi nebo věda? /283

8 MÝTUS NEKONEČNO /288

8.1 Spatřovat neviditelné za viditelným /288

8.2 Mlčení nekonečna /293

9 NA KONCI CESTY /296

9.1 K čemu jsme v knize dospěli /296

9.2 Epilog /299 Literatura /300

Summary /311

Краткое резюме /314

Rejstřík (méně obvyklých) pojmů /317

Jmenný rejstřík /319

Summary

The concept of infinity is the product of human imagination, which extended the concept of “great finity”. So infinity remained linked to phenomena and practice, even though more critical thinkers (Aristotle first and foremost) doubt the reality of actual infinity. The fact is that infinity does not manifest itself directly and clearly, and Aristotle claimed that mathematics can make do with finiteness, which can be constantly extended when necessary.

So potential infinity suffices. But potential infinity is no object, simply a process of constant extension. (But why should an object be given precedence over processes?) It was St. Augustine who wrought a fundamental change in the understanding of infinity, by bringing God into the game. As God was omniscient, He “must know all numbers, and we know for certain that they are endless…” Therefore He must know also actual infinity. This theological “proof of the existence of infinity”, in fact the only possible one, was taken seriously right up to the beginning of the 20th century. But mathematicians failed to realise that it could be questioned even on the grounds of theology itself.

For, as Thomas Aquinas pointed out, if the concept were a meaningless creation of fantasy, it could not be given legitimacy by claiming that the Omniscient must know it. Even God is governed by logic and not only is He not obliged to understand nonsense, He is not able to. But most mathematicians did not regard infinity as nonsense. Infinity was useful concept both in mathematics and physics, even if it could not be grasped with exactitude. This applied not only to the infinitely large but also to the infinitely small, which, in the 17th century became a basis for very fruitful branch of mathematics – infinitesimal calculus and mathematical analysis.

Nevertheless because mathematicians were still incapable of defining infinitesimals exactly, potential infinity was substituted for the actually infinitely small in the form of limits. “Divinely guaranteed” infinity also formed part of Bolzano’s (mathematically unfinished) set theory and subsequently was intrinsic to Cantor’s theory too. That theory “multiplied” it, i.e. created a tool for constructing an infinite number of infinities of various sizes (cardinalities) and thus became the “mathematicians’ paradise”. Infinities formed a kind of “Tower of Babel” rising up to the most infinite infinity, the divine Absolute. Contradictions soon appeared, however, and mathematicians were obliged to refine the theory and eliminate some “problematic sets”, creating a system of axioms to underpin set theory. Those axioms also guaranteed the existence of infinities and replaced the God of the mathematicians. Did they replace Him or merely clothe Him in secular raiment? Brouwer’s intuitionism and subsequent alternative approaches that emerged in the second half of the 20th century finally had the courage to break away radically from the divine myth, from “supernatural” axioms and “supernatural” infinities.

It was in that spirit that Czech mathematician Petr Vopěnka and his team created his Alternative Set Theory, inspired by phenomenological philosophy based on the world of phenomena, i.e. praxis. Vopěnka’s infinity is more modest; his “tower of infinities” has only two storeys. However, it is an infinity freed from the divine elements, more natural: infinity “with a human face”. Vopěnka also precisely defined actual infinity in terms of smallness (a trifle late from a practical standpoint as a definition through limits was already common among mathematicians.) He created a new mathematical metaphysics that was less metaphysical and closer to the world of phenomena, closer to physics and praxis. Mathematics, which originated in calculation and measurement – i.e. praxis – returns to the world of phenomena via a grandiose Platonic and theological metaphysical detour.

However, despite his flirtation with phenomenological philosophy, pragmatism and empiricism, that great mathematician was unable to transcend himself. To his dying day he conti- nued to hold to Platonic certainties and relied on the existence of “a single eternal mathematical realm”, albeit no longer with the enticing recesses of that “ornamental neo-Baroque superstructure” – Cantor’s paradise. He even ceased to be considering his Alternative Set Theory (with a capital “A”) from the latter part of his life to be alternative (with a small “a”) and regarded it as the only possible one. He rejected classical set theory and renamed his own the “New Set Theory” because “there exists no alternative”.

He replaced the old “religion of mathematics” with a new one, that was less divine and less metaphysical, but again the only true one. Nonetheless tradition is firmly rooted in the collective uncounsciousness and tends to be stronger than reason. And so thanks to tradition the old mathematical religion survives. Time will tell for how long. But even if Cantor’s paradise vanished for good, even if it became just a myth or beautiful dream, the metaphysical excursions of the 19th- and 20th-century mathematicians would not have been in vain. Nor would the pilgrimage to “divine infinities” have been in vain either. It provided a great deal of experience and inspiring insights. Mathematics returns changed, much richer, more experienced and stronger. Even though I take as the ultimate criterion of the veracity practise, I am aware that superficial shortsighted pragmatism is not a sufficient basis for science. Neither mathematics nor science can get by without a metaphysical transcendence, without “myth”, “religion” or beautiful dreams. And that also applies to us, to people. We need metaphysics, that “glow of spiritual light” to help us understand order of things, to bring into science and life what interests us, to bring a story.

Краткое резюме

Понятие бесконечности является продуктом человеческого воображения, которое расширило понятие «великой конечности» и, таким образом, абсолютизировало размер и количество. Понятие осталось связанным с явлениями и практикой, не смотря на то, что критически настроенные мыслители (во главе с Аристотелем) отрицали его связь и ставили под сомнение реальность актуальной бесконечности.

Бесконечность не проявляется непосредственно и ясно, поэтому математика ограничивается конечностью, которую при необходимости можно постоянно увеличивать. Таким образом, достаточно потенциальной бесконечности. Тем не менее, это не является объектом, а только лишь продолжающимся процессом увеличения. (Но почему мы должны отдавать предпочтение объекту перед процессом?) Ключевой прорыв в понимании бесконечности пришел со Св. Августином, который привлек к игре Бога. Благодаря своему всеведению Бог должен знать все числa. Поэтому он должен также знать актуальную бесконечность. Это теологическое «доказательство существования бесконечности», на самом деле единственно возможное, принималось всерьез вплоть до начала двадцатого века.

Математики упустили тот факт, что данное доказательство может быть подвергнуто сомнению даже с точки зрения самой (католической) теологии. Как отметил Фома Аквинский, если понятие является бессмысленным продуктом воображения, его невозможно узаконить утверждением, что Всеведущий должен его знать. Даже Бог подчиняется логике и не только не должен понимать бессмыслицу, но и не может. Тем не менее, большинство математиков бесконечность не считало бессмысленным понятием. B математике ,и физике бесконечность требовалась, хотя и не поддавалось точному определению. Это касалось не только бесконечности чисел по размеру, но и по малости, что в семнадцатом веке стало основой для очень плодотворной ветви математики - дифференциального исчисления и математического анализа.

Тем не менее, из-за неспособности математиков точно определить бесконечно малую, она была заменена лимитом, то есть потенциальной бесконечностью. «Божественная гарантия» бесконечности попала и в Больцанову (математически еще незаконченной) теорию множеств, а затем осело и в теории Кантора. Эта теория ее «умножила», то есть, создала инструменты для конструирования бесконечного количества бесконечностей различной величины (мощности) и, таким образом, стала «раем для математиков». Бесконечность сформировала что-то вроде «Вавилонской башни» направленной в сторону самой бесконечной бесконечности – Божественному Абсолюту. Вскоре, однако, появились разногласия.

Таким образом, математикам пришлось разработать теорию и исключить некоторые «проблемные множества». Тео- рию множеств поэтому подстроили системой аксиом. Эти аксиомы как раз гарантируют существование бесконечностей, заменив собой того Бога математиков. Заменили или только переодели в светскую одежду? Мужеством, достаточным чтобы освободиться от божественного мифа, от «сверхъестественных» аксиом и «сверхъестественных» бесконечностей, обладал интуиционизм Брауэра и следующие альтернативные подходы, которые возникли во второй половине двадцатого века. B этом духе построил свою Альтернативную теорию множеств и Петр Вопенка с коллегами, вдохновленный феноменологической философией, которая основана на мире явлений, то есть на практике. Бесконечность Вопенки беднее, «Башня беско- нечностей» имеет только два этажа.

Тем не менее, эта бес- конечность избавлена от божественного начала, она более естественна, это своего рода бесконечность с «человеческим лицом». Вопенка уточнил и таким образом реабилитировал актуальную бесконечно малую. (С практической точки зрения, немного поздно, так как определение лимита уже обосновалось среди математиков). Он создал новую метафизику математики, менее метафизическую и более приближенную к миру явлений, к физике и практике.

Таким образом, математика, изначально основанная на счете и измерении, то есть практике, несмотря на грандиозный метафизический платоновско-теологический крюк возвращается к миру явлений. Несмотря на заигрывание с феноменологической философией, прагматизмом и эмпиризмом, однако, даже этот великий математик не был в состоянии превзойти свою тень. До самой смерти он придерживался основ платонизма, опирался на существование «единого вечного математического царства», хотя уже и без заманчивых закоулков «необарочной декоративной надстройки» - «рая Кантора».

B конце жизни свою Альтернативную теорию множеств он перестал воспринимать в качестве альтернативы и принял как единственный вариант. Отвергает классическую теорию множеств и переименовывает свою на «Новую». Старую «математическую религию» заменяет новой, менее божественной, менее метафизической, но снова единственно правильной. Однако традиция прочно укоренилась в коллективном бессознательном и бывает сильнее, чем разум.

Поэтому благодаря традиции старая математическая религия по-прежнему жива. Будущее покажет, как долго это еще продлится. Тем не менее, даже если рай Кантора исчез совсем, стал мифом или прекрасной фантазией, те метафизические отступления математики девятнадцатого и двадцатого веков не были напрасными.

Напрасным не было и паломничество к «божественным бесконечностям». Оно принесло богатый опыт и вдохновляющие идеи. Математика возвращается другой, гораздо более богатой, более опытной и сильной. Даже если я считаю практику главным критерием истины любого познания, всех наук, включая математику и физику, я отдаю себе отчет в том, что для создания науки недостаточно первоочередного прагматизма. Без метафизического перекрытия, без «мифа» или «религии», без прекрасных фантазий ни математика, ни другая наука не обойдутся. Равно как и мы, люди. Только метафизика, то «сияние духовного света», приносит понимание определенных вещей и приносит в науку и в жизнь то, что нас интересует, привносит историю.

O autorovi

RNDr. Peter Zamarovský CSc. (*1952) vystudoval Matematicko-fyzikální fakultu Univerzity Karlovy v Praze. Zabýval se vakuovou fyzikou, fyzikou plazmatu a v posledních letech se zajímá především o filosofické otázky fyziky a matematiky. Od roku 1986 působí na ČVUT. Na elektrotechnické fakultě ČVUT přednáší výběrový předmět filosofie.

Je předsedou Evropského kulturního klubu, koná populární přednášky z fyziky, astronomie, kosmologie a filosofie fyziky a matematiky. Kromě skript, článků a odborných textů vydal knihy „Příběh antické filosofie: antická filosofie pro nefilosofy“ (ČVUT Praha 2005), „Proč je v noci tma“ (AGA, Praha 2011), anglicky „Why is it dark at night?“ (AutorHouse 2013).

Z recenzních posudků:

Kniha „Mýtus nekonečno“ se obtížně zařazuje do běžných kategorií. Je psána fundovaně, úzce zaměřenou odbornou monografií však není… Svým podáním je přístupná skoro všem, do oblasti knih populárně naučných však nepatří – je výš… Ať si knihu čte matematik nebo fyzik, zájemce o historii nebo technik, odborník nebo laik, každý si v ní přijde na své: to je vlastnost, kterou mnoho knih nemá. Autor umí čtenáře vtáhnout do děje také tím, že sám nese kůži na trh: autor se nebojí přecházet do první osoby, není jen vyprávěčem/vykladačem, doplňuje téma i vlastními originálními postřehy…

oc. Karel Malínský

Nevycházel jsem z úžasu nad tím, s jakým nadhledem i smyslem pro propojení různých úhlů pohledu na tuto vpravdě metafyzickou záhadu autor toto obtížné téma pojal. … Kniha zaujme jak přírodovědce, matematiky, filosofy a teology, tak i širší čtenářskou obec studentů středních a vysokých škol, ale i dospělé čtenáře, kteří se dokáží nadchnout pro skutečné záhady, jež dosud nerozluštil žádný detektiv.

RNDr. Jiří Grygar