Logická zkoumání a Základy aritmetiky

Frege, G.

300 Kč,Stran: 266, Vazba: pevná vazba, Formát: 135x205 mm, Rok vydání: 2012.

          Dílo zakladatele moderní logiky se připravovalo řadu let. Po těchto peripetiích je tedy teď k dispozici

První část obsahuje soubor nejdůležitějších Fregeho článků, v nichž byl proveden „obrat k jazyku“ a položeny základy jak matematické logice, tak analytické filosofii. Ve druhé části je základní Fregeho pojednání o logickém založení aritmetiky, které velmi ovlivnilo matematiku i filosofii dvacátého století. Přeložil J. Fiala. 266 stran.  

Obsah

Logická zkoumání

O smyslu a vyznamu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Vyklady o smyslu a vyznamu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

Funkce a pojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Pojem a předmět . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

Myšlenka. Logicke zkoumani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Recenze Husserlovy Filosofie aritmetiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Základy aritmetiky

Logicko–matematické zkoumání

o pojmu čísla

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

§ 1. V matematice posledni doby lze rozpoznat usilovani

o přisnost důkazů a ostrost pojmů . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

§ 2. Zkoumani se musi konečně rozšiřit i na pojem počtu.

Učel důkazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

§ 3. Filosoficke motivy pro takove zkoumani: sporne

otazky, zda jsou soudy o čislech analyticke, nebo syn-

teticke pravdy, zda jsou apriorni, nebo aposteriorni.

Smysl těchto vyrazů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

§ 4. Uloha teto knihy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5

I. Mínění některých autorů o povaze aritmetických vět.

Jsou čiselne formule dokazatelne?

§ 5. Kant popira to, čemu Hankel pravem řika paradox 157

§ 6. Leibnizův důkaz 2+2 = 4 obsahuje mezeru. Grassman-

nova definice a + b je chybna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

§ 7. Millovo miněni, že definice jednotlivych čisel tvrdi po-

zorovane skutečnosti, z nichž plynou vypočty, je neo-

důvodněne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

§ 8. K ospravedlněni těchto definic se nevyžaduje pozoro-

vani oněch skutečnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Jsou zakony aritmetiky induktivnimi pravdami?

§ 9. Millův přirodni zakon. Tim, že Mill nazyva aritme-

ticke pravdy přirodnimi zakony, zaměňuje je s jejich

použitim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

§ 10. Důvody proti tomu, že zakony sečitani jsou induktivni

pravdy: nestejnodruhost čisel; definici ještě nemame

množstvi společnych vlastnosti čisel; indukce se musi

pravděpodobně obraceně založit na aritmetice . . . . . .

165

§ 11. Lebnizova „vrozenosty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Jsou zakony aritmetiky synteticke apriori, nebo analyticke?

§ 12. Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. Vnitřni nazor jako

zaklad poznani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

§ 13. Rozdil mezi aritmetikou a geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . 172

§ 14. Srovnani pravd vzhledem k oblastem, v nichž plati .

172

§ 15. Leibnizovy a Jevonsovy nazory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

§ 16. Proti Millovu snižovani role „obratne manipulace s ja-

zykemy. Znaky nejsou prazdne proto, že neoznačuji

nic vnimatelneho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6

§ 17. Nedostatečnost indukce. Domněnka, že čiselne zakony

jsou analytickymi soudy; v čem pak spočiva jejich uži-

tečnost? Oceněni analytickych soudů . . . . . . . . . . . . . . . 175

II. Mínění některých autorů o pojmu čísla

§ 18. Nutnost zkoumani obecneho pojmu počtu . . . . . . . . . . 176

§ 19. Tato definice nemůže byt geometricka . . . . . . . . . . . . . . 177

§ 20. Je čislo definovatelne? Hankel. Leibniz . . . . . . . . . . . . . . 178

Je počet vlastnosti vnějšich věci?

§ 21. Miněni M. Cantora a E. Schrodera . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

§ 22. Proti Baumannovi: vnějši věci nepředstavuji žadne

přisne jednotky. Počet zavisi zdanlivě na našem po-

jeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

§ 23. Millovo miněni, že čislo je vlastnosti agregatů věci, je

neudržitelne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

§ 24. Rozsahla použitelnost čisla. Mill. Locke. Leibnizova

netělesna metafysicka figura. Kdyby bylo čislo něčim

smyslovym, nemohlo by se použit na nesmyslove . . . .

181

§ 25. Millův fyzikalni rozdil mezi 2 a 3. Podle Berkeleyho

neni čislo ve věcech realiter, nybrž je stvořeno duchem

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Je čislo něco subjektivniho?

§ 26. Lipschitzův popis tvořeni čisel nevyhovuje a nemůže

nahradit určeni pojmu. Čislo neni předmětem psycho-

logie, nybrž je něčim objektivnim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

§ 27. Čislo neni, jak se domniva Schloemilch, představou

mista objektu v řadě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Počet jako množstvi

§ 28. Thomaeovo pojmenovani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7

III. Mínění o jednotce a jedničce.

Vyjadřuje čislovka „jedeny vlastnost předmětů?

§ 29. Mnohoznačnost vyrazu „μoν `αςy a „jednotkay. Schro-

derova definice jednotky jako předmětu, ktery se ma

počitat, je zjevně neučelne. Adjektivum „jedeny neob-

sahuje žadne bližši určeni, nemůže sloužit jako predi-

kat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

§ 30. Podle Leibnizovych a Baumannovych pokusů

o definici se zda, že se pojem jednotky zcela rozply-

nul.

191

§ 31. Baumannovy charakteristiky nedělitelnosti a ohrani-

čitelnosti. Idea jednotky nam neni vnuknuta každym

objektem (Locke) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

§ 32. Přesto jazyk naznačuje souvislost mezi nedělitelnosti

a ohraničenosti, přičemž však je smysl posunut . . . . .

192

§ 33. Nerozdělitelnost (G. Kopp) je jakožto charakteristika

jednotky neudržitelna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Jsou si jednotky navzajem rovny?

§ 34. Rovnost jako důvod nazvu „jednotkay. E. Schroder.

Hobbes. Hume. Thomae. Abstrakci od rozličnosti věci

se nedostane pojem počtu a věci se tim nestanou vza-

jemně rovnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

§ 35. Odlišnost je dokonce nutna, ma-li se mluvit o mno-

hosti. Descartes. E. Schroder. St. Jevons. 195

§ 36. Tento pohled na odlišnost jednotek naraži na potiže.

Různe jednotky u St. Jevonse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

§ 37. Lockova, Leibnizova, Hessova definice čisla z jednotky

nebo jedničky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

§ 38. „Jedeny je vlastni jmeno, „jednotkay je pojmove

slovo. Čislo nelze definovat jako jednotky. Rozdil mezi

„ay a + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8

§ 39. Potiž se smiřenim stejnosti a odlišnosti jednotek se

zakryva mnohoznačnosti „jednotkyy . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Pokusy překonat tuto potiž

§ 40. Prostor a čas jako prostředek rozlišovani. Hobbes.

Thomae. Proti: Leibniz, Baumann, St. Jevons . . . . . . 201

§ 41. Tohoto cile neni dosaženo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

§ 42. Misto v řadě jako prostředek rozlišovani. Hankelovo

kladeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

§ 43. Schroderovo zobrazeni předmětů znakem 1 . . . . . . . . . 204

§ 44. Jevonsovo abstrahovani od charakteru rozdilu se za-

chovanim jeho existence. 0 a 1 jsou čisla jako ostatni.

Potiž zůstava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Řešeni teto potiže

§ 45. Ohlednuti se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

§ 46. Udaj o čisle obsahuje vypověď o pojmu. Namitka, že

se čislo měni při neměnnem pojmu . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

§ 47. Faktičnost udani čisla se vysvětluje z objektivity

pojmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

§ 48. Řešeni některych potiži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

§ 49. Potvrzeni u Spinozy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

§ 50. Provedeni u E. Schrodera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

§ 51. Opravněnost tehož . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

§ 52. Potvrzeni v jednom německem jazykovem uzu . . . . . . 212

§ 53. Rozdil mezi charakteristikami a vlastnostmi pojmu.

Existence a čislo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

§ 54. Jednotku lze nazvat subjektem udaje nějakeho čisla.

Nedělitelnost a ohraničenost jednotky. Rovnost a roz-

dilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

9

IV. Pojem počtu.

Každe jednotlive čislo je samostatnym předmětem

§ 55. Pokus o doplněni Leibnizovy definice jednotlivych či-

sel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

§ 56. Vyzkoušene definice jsou nepoužitelne, neboť definuji

vyrok, v němž je čislo jen současti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

§ 57. Na udaj čisla je třeba pohližet jako na rovnost mezi

čisly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

§ 58. Namitka proti nepředstavitelnosti čisla jako samostat-

neho předmětu. Čislo je vůbec nepředstavitelne . . . . .

217

§ 59. Předmět neni vyloučen ze zkoumani proto, že je ne-

představitelny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

§ 60. Ani konkretni věci nejsou představitelne. Slova je

třeba zkoumat ve větě, ptame-li se na jejich vyznam

218

§ 61. Namitka neprostorovosti čisel. Ne každy objektivni

předmět je prostorovy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

K ziskani pojmu počtu je třeba stanovit smysl rovnosti čisel

§ 62. Potřebujeme nějake kriterium rovnosti čisel . . . . . . . . . 219

§ 63. Možnost jednoznačneho přiřazeni jako takova. Logicke

pochybnosti, že se rovnost pro tento připad zvlaště

vysvětli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

§ 64. Přiklady podobneho postupu: směr, poloha roviny,

tvar trojuhelniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

§ 65. Pokud o definici. Druha pochybnost: zda stači zakony

rovnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

§ 66. Třeti pochybnost: kriterium rovnosti je nedostačujici

223

§ 67. Doplněni nelze udělat tak, že se k přiznakům pojmu

přida způsob, jak je předmět zaveden . . . . . . . . . . . . . . . 224

10

§ 68. Počet jako rozsah pojmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

§ 69. Vysvětleni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Doplněni a osvědčeni naši definice

§ 70. Vztahovy pojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

§ 71. Přiřazeni vztahem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

§ 72. Vzajemně jednoznačny vztah. Pojem počtu . . . . . . . . . 230

§ 73. Počet, ktery přisluši pojmu F, je roven počtu,

ktery přisluši pojmu G, existuje-li vztah, jenž

vzajemně jednoznačně přiřazuje předměty spadajici

pod pojem F předmětům spadajicim pod pojem G .

231

§ 74. Nula je počet, ktery přisluši pojmu „sam sobě ne-

rovnyy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

§ 75. Nula je počet, ktery přisluši pojmu, pod nějž nic ne-

spada. Žadny předmět nespada pod pojem, pro nějž

je přislušnym čislem nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

§ 76. Definice vyrazu „n nasleduje v řadě přirozenych čisel

bezprostředně za my . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

§ 77. 1 je počet, ktery přisluši pojmu „roven 0y . . . . . . . . . . 235

§ 78. Věty, ktere se maji dokazat pomoci naši definice . . . . 236

§ 79. Definice nasledovani v řadě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

§ 80. Poznamky k tomu. Objektivita nasledovani . . . . . . . . . 237

§ 81. Definice vyrazu „x naleži ϕ-řadě končici yy . . . . . . . . . 238

§ 82. Načrt důkazu, že v řadě přirozenych čisel neexistuje

posledni člen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

§ 83. Definice konečneho počtu. Žadny konečny počet nena-

sleduje v řadě přirozenych čisel za sebou . . . . . . . . . . . . 240

Nekonečne počty

§ 84. Počet, ktery přisluši pojmu „konečny počety, je neko-

nečny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

11

§ 85. Cantorovy nekonečne počty; „mohutnosty. Odlišnost

pojmenovani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

§ 86. Cantorovo nasledovani ve sledu a me nasledovani

v řadě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

V. Závěr

§ 87. Povaha aritmetickych zakonů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

§ 88. Kantovo podceněni analytickeho soudu . . . . . . . . . . . . . 243

§ 89. Kantova věta: „Bez smyslovosti by nam nebyl dan

žadny předmět.y Kantova zasluha o matematiku . . . . 245

§ 90. K plnemu ukazani analyticke povahy aritmetickych za-

konů chybi řetěz usudků bez mezer . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

§ 91. Naprava je možna m