Teoretická mechanika ve třech knihách Podolský Jiří

2024

vázaná, 432 str.

ISBN 9788024657462

Dílo je uceleným a navzájem propojeným souborem tří knih, jež jsou moderní učebnicí teoretické mechaniky určenou především pro studenty Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy.

První kniha obsahuje klasický výklad Lagrangeova a Hamiltonova formalismu pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum, druhá elegantní podobu těchto formalismů v jazyce diferenciální geometrie, jež je oproštěna od souřadnic. Ve třetí knize jsou vzorově vyřešeny pečlivě zvolené typové příklady k procvičení. Zmíněny jsou i návaznosti na kvantovou a relativistickou teorii.

Soubor má přehlednou strukturu, srozumitelnou formu výkladu a bohaté ilustrace.

Obsah Tři knihy 15 I KNIHA PRVNÍ: Teoretická mechanika v klasické formulaci 19 Předmluva a poděkování 21 Část I. MECHANIKA HMOTNÝCH BODŮ 25 1 Newtonovská mechanika 27 1.1 Hlavní pojmy, předpoklady a omezení klasické mechaniky . . . . . . 27 1.2 Newtonovy pohybové zákony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 Od Newtona k analytické mechanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Newtonovy rovnice s vazbami 32 2.1 Vazby a jejich klasifikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Lagrangeovy rovnice I. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Více hmotných bodů a více vazeb . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 D´Alembertův princip mechaniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Princip virtuální práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Lagrangeův formalismus 46 3.1 Popis systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.1 Zavedení zobecněných souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.2 Konfigurační prostor a zobecněné rychlosti . . . . . . . . . . 48 3.2 Odvození Lagrangeových rovnic II. druhu . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 Nejjednodušší situace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2 Nejobecnější situace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.3 Potenciál a Lagrangeova funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.4 Zobecněný potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.5 Příklad: částice v centrálním poli . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Řešení pohybových rovnic a integrály pohybu . . . . . . . . . . . . . 58 7 8 OBSAH 3.4 Pohyb v poli centrální síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.1 Pohyb planet aneb Keplerova úloha . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.2 Historická vsuvka z rudolfínské Prahy . . . . . . . . . . . . . 66 3.4.3 Metoda efektivního potenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4.4 Rozptyl nabitých částic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5 Problém dvou těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6 Problém tří těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4 Hamiltonův variační princip 74 4.1 Základy variačního počtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.1 Historické úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.2 Matematický aparát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1.3 Řešení historických úloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2 Formulace Hamiltonova variačního principu . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.1 Hamiltonův variační princip v teorii pole . . . . . . . . . . . 84 4.3 Teorém Emmy Noetherové . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4 Kalibrační transformace a kalibrační pole . . . . . . . . . . . . . . . 92 5 Hamiltonův formalismus 96 5.1 Základní pojmy Hamiltonova formalismu . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.1.1 Kanonická hybnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.1.2 Fázový prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.1.3 Hamiltonova funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2 Hamiltonovy kanonické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3 Shrnutí a hlubší geometrický náhled . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.4 Klasické příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.5 Poissonovy závorky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.5.1 Definice a algebraické vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.5.2 Fundamentální Poissonovy závorky . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.5.3 Poissonovy závorky a integrály pohybu . . . . . . . . . . . . . 109 5.6 Užití Hamiltonova formalismu ve fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.7 Kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.7.1 Podmínky kanoničnosti transformace . . . . . . . . . . . . . . 116 5.7.2 Jak prakticky zjistit, zda transformace je kanonická . . . . . 120 5.7.3 Důležité vlastnosti kanonických transformací . . . . . . . . . 121 5.8 Hamiltonova–Jacobiho teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.8.1 Shrnutí postupu, metody řešení a příklad . . . . . . . . . . . 126 5.8.2 Další teoretické aspekty Hamiltonovy–Jacobiho teorie . . . . 129 Část II. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA 135 6 Kinematika tuhého tělesa 137 6.1 Vektory a tenzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.2 Relativita otáčivého pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3 Zavedení úhlové rychlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 OBSAH 9 6.3.1 Skládání úhlových rychlostí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.4 Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice . . . . . . . . . . . . . 144 6.5 Zrychlení v neinerciální soustavě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7 Dynamika tuhého tělesa 147 7.1 Tenzor setrvačnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.2 Eulerovy dynamické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.3 Odvození pomocí Lagrangeova formalismu . . . . . . . . . . . . . . . 152 8 Aplikace: setrvačníky 155 8.1 Volný setrvačník (bezsilový) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.2 Setrvačník se třením . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.3 Těžký symetrický setrvačník s pevným bodem . . . . . . . . . . . . . 159 Část III. MECHANIKA KONTINUA 163 9 Rovnice struny a její řešení 165 9.1 Odvození rovnice pro příčné kmity struny . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.2 Lagrangeova funkce struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9.3 Podélné kmity struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.4 Řešení rovnice struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.4.1 Metoda d´Alembertova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.4.2 Metoda Bernoulliho–Fourierova . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9.4.3 Příklad na Fourierovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 9.5 Další okrajové podmínky: volný konec, tření . . . . . . . . . . . . . . 173 9.5.1 Struna s volnými konci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9.5.2 Odrazy na koncích struny v d´Alembertově metodě . . . . . . 175 10 Mechanika kontinua 177 10.1 Lagrangeův a Eulerův popis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.1.1 Deformační tenzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 10.1.2 Tekoucí materiálový objem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 10.2 Síly objemové a plošné popsané Cauchyho tenzorem napětí . . . . . 184 10.2.1 Podmínky rovnováhy kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.2.2 Formální ekvivalence objemových a plošných sil . . . . . . . . 187 10.3 Základní rovnice pro pohyb kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10.3.1 Rovnice kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10.3.2 Pohybová rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.3.3 Symetrie tenzoru napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.3.4 Rovnice pro vnitřní energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.3.5 Rovnice pro entropii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.4 Popis materiálů v teorii kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.4.1 Tekutiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.4.2 Pevné látky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.5 Dokonalá tekutina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.5.1 Vlny v dokonalé tekutině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 10 OBSAH 10.5.2 Nevířivé proudění a Bernoulliho rovnice . . . . . . . . . . . . 194 10.6 Proudění vazké tekutiny, Navierova–Stokesova rovnice . . . . . . . . 196 10.6.1 Geometricky podobná proudění a turbulence . . . . . . . . . 196 II KNIHA DRUHÁ: Teoretická mechanika v jazyce diferenciální geometrie 201 Předmluva a poděkování 203 1 Základy diferenciální geometrie 205 1.1 Variety a základní objekty na nich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 1.1.1 Pojem variety M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 1.1.2 Funkce na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 1.1.3 Křivky na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 1.1.4 Vektory na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 1.1.5 Formy na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 1.2 Tečný bandl TM a kotečný bandl T∗ M . . . . . . . . . . . . . . . . 217 1.2.1 Fibrovaný prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 1.3 Vektorové pole X a jeho integrální křivky γ(t) . . . . . . . . . . . . . 220 1.4 Tok Φt generovaný vektorovým polem . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 1.4.1 Zobrazení push-forward a pull-back . . . . . . . . . . . . . . . 222 1.4.2 Zobrazení pull-back pro obecné tenzorové pole . . . . . . . . 224 1.4.3 Lieův přenos funkce, vektoru a formy . . . . . . . . . . . . . 226 1.5 Lieova derivace LX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 1.6 Lieova závorka [X, Y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 1.7 Diferenciální 2-formy a jejich vztah k 1-formám . . . . . . . . . . . . 233 1.8 Diferenciální p-formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 2 Geometrická formulace Lagrangeovy mechaniky 242 2.1 Fázový portrét a dynamické vektorové pole . . . . . . . . . . . . . . 242 2.2 Fundamentální geometrické objekty Lagrangeova formalismu . . . . 246 2.3 Dynamická vektorová pole na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 2.4 Geometrická podoba Lagrangeových rovnic . . . . . . . . . . . . . . 248 2.5 Teorém Emmy Noetherové . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 3 Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky 255 3.1 Legendreova duální transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 3.2 Jednotné souřadnice na T∗ Q a symplektická matice . . . . . . . . . . 259 3.3 Geometrická podoba Hamiltonových rovnic . . . . . . . . . . . . . . 261 3.4 Fázový prostor coby symplektická varieta . . . . . . . . . . . . . . . 263 3.5 Poissonovy závorky geometricky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 3.6 Hamiltonova verze teorému Emmy Noetherové . . . . . . . . . . . . 266 3.7 Kanonické transformace geometricky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 3.8 Invariance symplektické formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 OBSAH 11 3.9 Liouvilleova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 3.10 Poincarého invarianty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 A Lagrangeovská vektorová pole 275 A.1 Dynamická vektorová pole na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 A.2 Geometrická formulace polí druhého řádu . . . . . . . . . . . . . . . 277 B Další vlastnosti tečného bandlu TQ 278 B.1 Symplektická struktura na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 B.2 Hamiltonovská dynamika na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 C Časově závislé hamiltoniány 284 C.1 Geometrické objekty na rozšířeném fázovém prostoru . . . . . . . . 285 C.2 Pohybové rovnice a vztah k časově nezávislé mechanice . . . . . . . . 286 C.3 Časově závislé kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 C.4 Hamiltonova–Jacobiho teorie geometricky . . . . . . . . . . . . . . . 294 Shrnutí hlavních pojmů a notace 296 Anglický slovníček 299 III KNIHA TŘETÍ: Teoretická mechanika v příkladech 303 Předmluva a poděkování 305 1 Newtonovská mechanika 307 1.1 Částice odpuzovaná sílou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 1.2 Projektil vystřelený ze Země . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 1.3 Brzdící loď . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 1.4 Harmonický oscilátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 1.5 Matematické kyvadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 1.6 Malé kmity v obecném potenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 1.7 Pád tunelem napříč Zemí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 1.8 Rozmotávání lanka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 1.9 Buquoyova úloha z roku 1814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 1.10 Poyntingův–Robertsonův efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 2 Newtonovy rovnice s vazbami 327 2.1 Bod v parabolickém korýtku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 2.2 Napětí v závěsu matematického kyvadla . . . . . . . . . . . . . . . . 331 2.3 Bod na zrychlující nakloněné tyčce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 2.4 Bod v průsečíku koule s rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 2.5 Pohyb po pohybujícím se klínu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 2.6 Bod v průsečíku dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 12 OBSAH 2.7 Kutálení mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 2.8 d´Alembertův princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 2.9 Rovnováha tyče se závažím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 2.10 Rovnováha tyče v parabolickém korýtku . . . . . . . . . . . . . . . . 340 3 Lagrangeův formalismus 343 3.1 Kmity pružiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 3.2 Kyvadlo s protizávažím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 3.3 Cykloidální kyvadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 3.4 Eliptické kyvadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 3.5 Dvojkyvadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 3.6 Ampérova úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 3.7 Kyvadlo s proměnnou délkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 3.8 Pohyb závaží spojeného s bodem obíhajícím po desce . . . . . . . . . 360 3.9 Binetův vzorec: dipólová porucha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 3.10 Newtonovský potenciál s kvadrupólovou poruchou . . . . . . . . . . 364 3.11 Stáčení perihelia v obecném sférickém poli . . . . . . . . . . . . . . . 365 3.12 Rychlosti planety obíhající po elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 3.13 Zobecněný potenciál elektromagnetického pole . . . . . . . . . . . . . 368 3.14 Zobecněná energie částice v elektromagnetickém poli . . . . . . . . . 370 4 Hamiltonův formalismus 371 4.1 Hamiltonova funkce částice v elektromagnetickém poli . . . . . . . . 377 4.2 Částice v homogenním elektrickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 4.3 Částice v homogenním magnetickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . 379 4.4 Harmonický oscilátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 4.5 Hamiltonova funkce ve sférických souřadnicích . . . . . . . . . . . . 381 4.6 Hamiltonova funkce s logaritmem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 4.7 Poissonova závorka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 4.8 Fundamentální Poissonovy závorky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 4.9 Poissonovy závorky složek momentu hybnosti . . . . . . . . . . . . . 385 4.10 Poissonova závorka velikosti momentu hybnosti . . . . . . . . . . . . 387 4.11 Integrály pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 4.12 Kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 4.13 Řešení harmonického oscilátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 4.14 Generující funkce kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . . . 390 4.15 Poissonovy závorky a kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . 392 4.16 Hamiltonova–Jacobiho teorie: harmonický oscilátor . . . . . . . . . . 393 4.17 Hamiltonova–Jacobiho teorie: šikmý vrh . . . . . . . . . . . . . . . . 395 4.18 Hamiltonova–Jacobiho teorie: pohyb v centrálním poli . . . . . . . . 396 5 Mechanika tuhého tělesa 399 5.1 Rozklad na translaci a rotaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 5.2 Tenzor setrvačnosti tyčky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 5.3 Tenzor setrvačnosti kvádru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 OBSAH 13 5.4 Tenzor setrvačnosti elipsoidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 5.5 Moment setrvačnosti kvádru vůči tělesové úhlopříčce . . . . . . . . . 409 5.6 Kmity Machova skloněného kyvadla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 5.7 Pohyb kuličky po nakloněné rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 5.8 Langerova úloha: tyč padající na podlahu . . . . . . . . . . . . . . . 412 Poděkování 417 Literatura 419 Rejstřík 423