V. Chmelíková:

Zlatý řez nejen v matematice

180 str.

OBSAH

Úvodní slovo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Zlaté číslo a jeho vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Výpočet zlatého čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2 Vlastnosti zlatého čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Zlaté číslo jako řetězový zlomek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Zlaté číslo a Fibonacciho posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Číslo zlaté, stříbrné a bronzové . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Konstrukce zlatého řezu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3 Zlatý řez v planimetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

3.1 Zlatý obdélník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Zlatý trojúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Zlatá spirála . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Pravidelný pětiúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Pravidelný desetiúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.6 Další rovinné útvary a úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Zlatý řez ve stereometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1 Pravidelné mnohostěny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

4.2 Další tělesa a prostorové úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1 Zlatý řez v Eukleidových Základech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2 Zlatý řez u dalších autorů starověku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3 Zlatý řez v arabské matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

5.4 Zlatý řez v období renesance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.5 Zlatý řez v novověku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6 Zlatý řez v hodinách matematiky na středních školách . . . . . . . . . .95

6.1 Učebnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.1.1 Učebnice vydané před 2. světovou válkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.1.2 Učebnice vydané po 2. světové válce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.1.3 Současné učebnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2 Kdy, jak a proč zlatý řez učit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3 Skládanky z papíru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2

6.4 Pracovní listy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7 Zlatý řez v umění a architektuře . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.1 Karel Březina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.2 Zlatý řez v umění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.3 Zlatý řez a architektura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.4 Gotické lomené oblouky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8 Zlatý řez v přírodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

8.1 Rostliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.2 Lidské tělo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9 Experimentální estetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.1 Gustav Theodor Fechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.2 Vlastní test a jeho výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

10 Užití zlatého řezu v 21. století . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Požité značení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

Další literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

PŘÍLOHA A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

PŘÍLOHA B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

STRUČNÁ ANOTACE

C匀em t騁o knihy je přehledně a srozumitelně podat informace souvisej兤

s matematick©mi a geometrick©mi vlastnostmi zlat馼o řezu, upozornit na jeho

historick© v©voj a na dalš�obory, ve kter©ch se vyskytuje nebo se to alespoň

tvrd� Cel© text je členěn na deset kapitol, kter�pak (s v©jimkou druh

a des疸� jsou d疝e tematicky rozděleny na menš�podkapitoly. V z疱ěru jsou

pak připojeny př匀ohy (př匀oha A – pracovn�listy, př匀oha B – barevn�obrazov

př匀oha).

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Prvn�kapitola nejprve čtenře sezn疥�s geometrickou definic�zlat馼o řezu

a v©počtem hodnoty př﨎lušn馼o poměru – zlat馼o č﨎la. D疝e jsou zde uvedeny

dalš�souvislosti zlat馼o č﨎la s matematikou, včetně řetězov©ch zlomků nebo

definice zlat馼o č﨎la pomoc�Fibonacciho posloupnosti. Posledn�podkapitola

m叝ně odbočuje od t駑atu, stručně pojedn疱�o dalš兤h zaj匇av©ch č﨎lech,

a to č﨎lech stř兊rn©ch a bronzov©ch.

Ve druh�kapitole jsou pops疣y různ�konstrukce zlat馼o řezu 俍ečky. Konstrukce

jsou uvedeny včetně stručn©ch důkazů jejich spr疱nosti. V 俿odu t騁o

kapitoly je stručně vysvětlen syst駑, jak©m jsou popisov疣y jednotliv�kroky

konstrukc� Tento syst駑 je potom použit i v dalš兤h kapitol當h.

Třet�a čtvrt�kapitola se věnuj�rovinn©m a prostorov©m objektům, u kter©ch

lze poměr zlat馼o řezu naj咜, a pod疱aj�v t騁o souvislosti někter�zaj匇av

početn�伃ohy.

Dalš�dvě kapitoly pojedn疱aj�o historii zlat馼o řezu, přičemž kapitola

p疸�se zab©v�histori�jako takovou, zat匇co kapitola šest�je zaměřena na

v©voj zlat馼o řezu v česk©ch středoškolsk©ch učebnic兤h matematiky a nastiňuje

i současnou situaci.

Ve zb©vaj兤兤h čtyřech kapitol當h jsou př勛lady v©skytu zlat馼o řezu mimo

matematiku. Kapitola sedm�se zab©v�v©tvarn©m uměn匇 a architekturou,

v osm�kapitole je pod疣 stručn© souhrn souvislost�zlat馼o řezu s př叝odou,

v kapitole dev疸�jsou pops疣y prvn�v©zkumy v oblasti vn匇疣�zlat馼o řezu

jako esteticky dokonal馼o poměru a tak�jsou v t騁o kapitole přehledně shrnuty

v©sledky obdobn馼o průzkumu proveden馼o v roce 2008. Konečně posledn�

des疸� kapitola ukazuje někter�možnosti využit�zlat馼o řezu v současn�době.

1