Libor Koudela: O pojetí křivky
-
vyd. 2013 – vi, 267 s.
Z čistě matematického hlediska nic není dnes temnějšího a neurčitějšího než pojem křivky,“
prohlásil roku 1897 slavný německý matematik Felix Klein.
Dlouho se zdálo, že pojem křivky je natolik jasný a názorný, že ani nevyžaduje zvláštní
definici. Snaha formulovat matematicky přesnou definici křivky však později narazila na
nečekané obtíže. Ukázalo se totiž, že „přirozené“ definici vyhovují i objekty, které mají k
intuitivní představě křivky velmi daleko.
Tato kniha přináší podivuhodnou historii vývoje pojetí křivky v matematice od starověku po
současnost a dotýká se závažných otázek po samotné povaze matematických objektů,
nekonečna, spojitosti či dimenze a také vztahu logiky a intuice v procesu matematického
poznání. Popisuje starověké a středověké pokusy o kvadraturu kruhu chápanou jako
transmutace křivočarého obrazce v přímočarý a všímá si podrobně těch aspektů impozantního
díla Archimédova, které mají vztah k vývoji pojetí křivky. Zabývá se úsilím o měření délky
křivek v souvislosti s vývojem integrálního počtu a teorie míry, od prvních pokusů v 16. a 17.
století přes úspěšná stanovení délky logaritmické spirály, cykloidy a semikubické paraboly až
po moderní teorii rektifikace a různá pojetí lineární míry. Sleduje zrod matematických
monster a proměnu jejich postavení v matematice. Věnuje se vzniku topologie jako
samostatné matematické disciplíny a formulování teorie dimenze a kontinua, jež byla
předpokladem matematického uchopení pojmu křivky, a rovněž pionýrské roli Bernarda
Bolzana při utváření moderní matematiky.
Kniha se zabývá i fraktální geometrií, popisuje vlastnosti fraktálních křivek a uvádí jejich
známé i méně známé příklady - od proslulé von Kochovy křivky a Sierpińského trojúhelníku
po různé exempláře dračích křivek a grafy spojitých nediferencovatelných funkcí. Zvláštní
místo je věnováno Bolzanově funkci popsané už ve třicátých letech 19. století, jejíž graf je
historicky prvním známým fraktálem.
O pojetí křivky
Úvod
1
1
Problém rektifikace
11
1.1
Rovné a křivé
12
1.2
Archimédovo měření kruhu
15
1.3
Délka kružnice a mechanické křivky
19
1.4
Geometrické meditace
24
1.5
Pokusy a omyly
29
1.6
První úspěchy
36
1.7
Případ logaritmické spirály
46
1.8
Prestižní záležitost
53
1.9
Geometrické řešení
59
1.10
Přednosti a slabiny „nové metody“
62
1.11
Duhamelovo pojetí délky křivky
70
1.12
Délka grafu a nespojité funkce
73
2
Křivka jako obraz intervalu
79
2.1
Křivky a funkce
80
2.2
Jordanova definice křivky a Jordanova věta
85
2.3
Cantorův paradox dimenze
89
2.4
Otázka invariance dimenze
91
2.5
Křivky vyplňující prostor
95
2.6
Křivky s nenulovým vnějším obsahem
101
2.7
Význam patologických křivek
107
3
Křivka jako kontinuum
111
3.1
O spojitých veličinách
112
3.2
Bolzanovy geometrické práce
116
3.3
Pojem kontinua v Cantorově teorii
122
3.4
Lineární kontinua
125
3.5
Schoenfliesův
Bericht
129
3.6
Ireducibilní a nerozložitelná kontinua
133
3.7
Jordanovy křivky a lokální souvislost
139
3.8
Příklady Janiszewského a Sierpińského
143
3.9
Kompaktnost
149
3.10
Menger--Urysonova teorie
152
4
Délka, míra a dimenze
163
4.1
Délka křivky v Lebesgueově teorii
164
4.2
Singulární funkce
167
{4.3
Lineární míra
171
4.4
Carathéodoryho teorie
176
4.5
Některé další práce o lineární míře
178
4.6
Hausdorffova míra a dimenze
187
4.7
Fraktální dimenze
192
5
Fraktální křivky
197
5.1
Pojem fraktálu a fraktální křivky
198
5.2
Soběpodobné křivky
200
5.3
Hausdorffova vzdálenost
207
5.4
Systémy iterovaných funkcí
209
5.5
Fraktální křivky a funkcionální rovnice
214
5.6
Autoafinní křivky
220
5.7
Bolzanova funkce
223
Závěr
228
Častěji užívané symboly
233
Literatura
235
Rejstřík
251
English summary
262
Libor Koudela: O pojetí křivky
- Product Code: Libor Koudela: O pojetí křivky
- Availability: 1
-
335CZK
- Ex Tax: 335CZK