Libor Koudela: O pojetí křivky

1. vyd. 2013 – vi, 267 s.

Z čistě matematického hlediska nic není dnes temnějšího a neurčitějšího než pojem křivky,“

prohlásil roku 1897 slavný německý matematik Felix Klein.

Dlouho se zdálo, že pojem křivky je natolik jasný a názorný, že ani nevyžaduje zvláštní

definici. Snaha formulovat matematicky přesnou definici křivky však později narazila na

nečekané obtíže. Ukázalo se totiž, že „přirozené“ definici vyhovují i objekty, které mají k

intuitivní představě křivky velmi daleko.

Tato kniha přináší podivuhodnou historii vývoje pojetí křivky v matematice od starověku po

současnost a dotýká se závažných otázek po samotné povaze matematických objektů,

nekonečna, spojitosti či dimenze a také vztahu logiky a intuice v procesu matematického

poznání. Popisuje starověké a středověké pokusy o kvadraturu kruhu chápanou jako

transmutace křivočarého obrazce v přímočarý a všímá si podrobně těch aspektů impozantního

díla Archimédova, které mají vztah k vývoji pojetí křivky. Zabývá se úsilím o měření délky

křivek v souvislosti s vývojem integrálního počtu a teorie míry, od prvních pokusů v 16. a 17.

století přes úspěšná stanovení délky logaritmické spirály, cykloidy a semikubické paraboly až

po moderní teorii rektifikace a různá pojetí lineární míry. Sleduje zrod matematických

monster a proměnu jejich postavení v matematice. Věnuje se vzniku topologie jako

samostatné matematické disciplíny a formulování teorie dimenze a kontinua, jež byla

předpokladem matematického uchopení pojmu křivky, a rovněž pionýrské roli Bernarda

Bolzana při utváření moderní matematiky.

Kniha se zabývá i fraktální geometrií, popisuje vlastnosti fraktálních křivek a uvádí jejich

známé i méně známé příklady - od proslulé von Kochovy křivky a Sierpińského trojúhelníku

po různé exempláře dračích křivek a grafy spojitých nediferencovatelných funkcí. Zvláštní

místo je věnováno Bolzanově funkci popsané už ve třicátých letech 19. století, jejíž graf je

historicky prvním známým fraktálem.

O pojetí křivky

Úvod

1

1

Problém rektifikace

11

1.1

Rovné a křivé

12

1.2

Archimédovo měření kruhu

15

1.3

Délka kružnice a mechanické křivky

19

1.4

Geometrické meditace

24

1.5

Pokusy a omyly

29

1.6

První úspěchy

36

1.7

Případ logaritmické spirály

46

1.8

Prestižní záležitost

53

1.9

Geometrické řešení

59

1.10

Přednosti a slabiny „nové metody“

62

1.11

Duhamelovo pojetí délky křivky

70

1.12

Délka grafu a nespojité funkce

73

2

Křivka jako obraz intervalu

79

2.1

Křivky a funkce

80

2.2

Jordanova definice křivky a Jordanova věta

85

2.3

Cantorův paradox dimenze

89

2.4

Otázka invariance dimenze

91

2.5

Křivky vyplňující prostor

95

2.6

Křivky s nenulovým vnějším obsahem

101

2.7

Význam patologických křivek

107

3

Křivka jako kontinuum

111

3.1

O spojitých veličinách

112

3.2

Bolzanovy geometrické práce

116

3.3

Pojem kontinua v Cantorově teorii

122

3.4

Lineární kontinua

125

3.5

Schoenfliesův

Bericht

129

3.6

Ireducibilní a nerozložitelná kontinua

133

3.7

Jordanovy křivky a lokální souvislost

139

3.8

Příklady Janiszewského a Sierpińského

143

3.9

Kompaktnost

149

3.10

Menger--Urysonova teorie

152

4

Délka, míra a dimenze

163

4.1

Délka křivky v Lebesgueově teorii

164

4.2

Singulární funkce

167

{4.3

Lineární míra

171

4.4

Carathéodoryho teorie

176

4.5

Některé další práce o lineární míře

178

4.6

Hausdorffova míra a dimenze

187

4.7

Fraktální dimenze

192

5

Fraktální křivky

197

5.1

Pojem fraktálu a fraktální křivky

198

5.2

Soběpodobné křivky

200

5.3

Hausdorffova vzdálenost

207

5.4

Systémy iterovaných funkcí

209

5.5

Fraktální křivky a funkcionální rovnice

214

5.6

Autoafinní křivky

220

5.7

Bolzanova funkce

223

Závěr

228

Častěji užívané symboly

233

Literatura

235

Rejstřík

251

English summary

262