Teoretická mechanika ve třech knihách Podolský Jiří
2024
vázaná, 432 str.
ISBN 9788024657462
Dílo je uceleným a navzájem propojeným souborem tří knih, jež jsou moderní učebnicí teoretické mechaniky určenou především pro studenty Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy.
První kniha obsahuje klasický výklad Lagrangeova a Hamiltonova formalismu pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum, druhá elegantní podobu těchto formalismů v jazyce diferenciální geometrie, jež je oproštěna od souřadnic. Ve třetí knize jsou vzorově vyřešeny pečlivě zvolené typové příklady k procvičení. Zmíněny jsou i návaznosti na kvantovou a relativistickou teorii.
Soubor má přehlednou strukturu, srozumitelnou formu výkladu a bohaté ilustrace.
Obsah
Tři knihy 15
I KNIHA PRVNÍ:
Teoretická mechanika v klasické formulaci 19
Předmluva a poděkování 21
Část I. MECHANIKA HMOTNÝCH BODŮ 25
1 Newtonovská mechanika 27
1.1 Hlavní pojmy, předpoklady a omezení klasické mechaniky . . . . . . 27
1.2 Newtonovy pohybové zákony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Od Newtona k analytické mechanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Newtonovy rovnice s vazbami 32
2.1 Vazby a jejich klasifikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Lagrangeovy rovnice I. druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Více hmotných bodů a více vazeb . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 D´Alembertův princip mechaniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Princip virtuální práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Lagrangeův formalismus 46
3.1 Popis systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1 Zavedení zobecněných souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Konfigurační prostor a zobecněné rychlosti . . . . . . . . . . 48
3.2 Odvození Lagrangeových rovnic II. druhu . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 Nejjednodušší situace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Nejobecnější situace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.3 Potenciál a Lagrangeova funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.4 Zobecněný potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.5 Příklad: částice v centrálním poli . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Řešení pohybových rovnic a integrály pohybu . . . . . . . . . . . . . 58
7
8 OBSAH
3.4 Pohyb v poli centrální síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.1 Pohyb planet aneb Keplerova úloha . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.2 Historická vsuvka z rudolfínské Prahy . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.3 Metoda efektivního potenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.4 Rozptyl nabitých částic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 Problém dvou těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6 Problém tří těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Hamiltonův variační princip 74
4.1 Základy variačního počtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.1 Historické úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Matematický aparát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.3 Řešení historických úloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Formulace Hamiltonova variačního principu . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.1 Hamiltonův variační princip v teorii pole . . . . . . . . . . . 84
4.3 Teorém Emmy Noetherové . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Kalibrační transformace a kalibrační pole . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 Hamiltonův formalismus 96
5.1 Základní pojmy Hamiltonova formalismu . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.1 Kanonická hybnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.2 Fázový prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.3 Hamiltonova funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Hamiltonovy kanonické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Shrnutí a hlubší geometrický náhled . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4 Klasické příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5 Poissonovy závorky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5.1 Definice a algebraické vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5.2 Fundamentální Poissonovy závorky . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5.3 Poissonovy závorky a integrály pohybu . . . . . . . . . . . . . 109
5.6 Užití Hamiltonova formalismu ve fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.7 Kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.7.1 Podmínky kanoničnosti transformace . . . . . . . . . . . . . . 116
5.7.2 Jak prakticky zjistit, zda transformace je kanonická . . . . . 120
5.7.3 Důležité vlastnosti kanonických transformací . . . . . . . . . 121
5.8 Hamiltonova–Jacobiho teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.8.1 Shrnutí postupu, metody řešení a příklad . . . . . . . . . . . 126
5.8.2 Další teoretické aspekty Hamiltonovy–Jacobiho teorie . . . . 129
Část II. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA 135
6 Kinematika tuhého tělesa 137
6.1 Vektory a tenzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2 Relativita otáčivého pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.3 Zavedení úhlové rychlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
OBSAH 9
6.3.1 Skládání úhlových rychlostí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.4 Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice . . . . . . . . . . . . . 144
6.5 Zrychlení v neinerciální soustavě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Dynamika tuhého tělesa 147
7.1 Tenzor setrvačnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2 Eulerovy dynamické rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3 Odvození pomocí Lagrangeova formalismu . . . . . . . . . . . . . . . 152
8 Aplikace: setrvačníky 155
8.1 Volný setrvačník (bezsilový) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.2 Setrvačník se třením . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.3 Těžký symetrický setrvačník s pevným bodem . . . . . . . . . . . . . 159
Část III. MECHANIKA KONTINUA 163
9 Rovnice struny a její řešení 165
9.1 Odvození rovnice pro příčné kmity struny . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.2 Lagrangeova funkce struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.3 Podélné kmity struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.4 Řešení rovnice struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.4.1 Metoda d´Alembertova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.4.2 Metoda Bernoulliho–Fourierova . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.4.3 Příklad na Fourierovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.5 Další okrajové podmínky: volný konec, tření . . . . . . . . . . . . . . 173
9.5.1 Struna s volnými konci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.5.2 Odrazy na koncích struny v d´Alembertově metodě . . . . . . 175
10 Mechanika kontinua 177
10.1 Lagrangeův a Eulerův popis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.1.1 Deformační tenzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.1.2 Tekoucí materiálový objem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
10.2 Síly objemové a plošné popsané Cauchyho tenzorem napětí . . . . . 184
10.2.1 Podmínky rovnováhy kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.2.2 Formální ekvivalence objemových a plošných sil . . . . . . . . 187
10.3 Základní rovnice pro pohyb kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.3.1 Rovnice kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.3.2 Pohybová rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.3.3 Symetrie tenzoru napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.3.4 Rovnice pro vnitřní energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.3.5 Rovnice pro entropii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.4 Popis materiálů v teorii kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.4.1 Tekutiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.4.2 Pevné látky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.5 Dokonalá tekutina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.5.1 Vlny v dokonalé tekutině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10 OBSAH
10.5.2 Nevířivé proudění a Bernoulliho rovnice . . . . . . . . . . . . 194
10.6 Proudění vazké tekutiny, Navierova–Stokesova rovnice . . . . . . . . 196
10.6.1 Geometricky podobná proudění a turbulence . . . . . . . . . 196
II KNIHA DRUHÁ:
Teoretická mechanika v jazyce diferenciální geometrie 201
Předmluva a poděkování 203
1 Základy diferenciální geometrie 205
1.1 Variety a základní objekty na nich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
1.1.1 Pojem variety M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
1.1.2 Funkce na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
1.1.3 Křivky na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
1.1.4 Vektory na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
1.1.5 Formy na varietě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
1.2 Tečný bandl TM a kotečný bandl T∗
M . . . . . . . . . . . . . . . . 217
1.2.1 Fibrovaný prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
1.3 Vektorové pole X a jeho integrální křivky γ(t) . . . . . . . . . . . . . 220
1.4 Tok Φt generovaný vektorovým polem . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
1.4.1 Zobrazení push-forward a pull-back . . . . . . . . . . . . . . . 222
1.4.2 Zobrazení pull-back pro obecné tenzorové pole . . . . . . . . 224
1.4.3 Lieův přenos funkce, vektoru a formy . . . . . . . . . . . . . 226
1.5 Lieova derivace LX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
1.6 Lieova závorka [X, Y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
1.7 Diferenciální 2-formy a jejich vztah k 1-formám . . . . . . . . . . . . 233
1.8 Diferenciální p-formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
2 Geometrická formulace Lagrangeovy mechaniky 242
2.1 Fázový portrét a dynamické vektorové pole . . . . . . . . . . . . . . 242
2.2 Fundamentální geometrické objekty Lagrangeova formalismu . . . . 246
2.3 Dynamická vektorová pole na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
2.4 Geometrická podoba Lagrangeových rovnic . . . . . . . . . . . . . . 248
2.5 Teorém Emmy Noetherové . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3 Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky 255
3.1 Legendreova duální transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
3.2 Jednotné souřadnice na T∗
Q a symplektická matice . . . . . . . . . . 259
3.3 Geometrická podoba Hamiltonových rovnic . . . . . . . . . . . . . . 261
3.4 Fázový prostor coby symplektická varieta . . . . . . . . . . . . . . . 263
3.5 Poissonovy závorky geometricky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
3.6 Hamiltonova verze teorému Emmy Noetherové . . . . . . . . . . . . 266
3.7 Kanonické transformace geometricky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
3.8 Invariance symplektické formy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
OBSAH 11
3.9 Liouvilleova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.10 Poincarého invarianty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
A Lagrangeovská vektorová pole 275
A.1 Dynamická vektorová pole na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
A.2 Geometrická formulace polí druhého řádu . . . . . . . . . . . . . . . 277
B Další vlastnosti tečného bandlu TQ 278
B.1 Symplektická struktura na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
B.2 Hamiltonovská dynamika na TQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
C Časově závislé hamiltoniány 284
C.1 Geometrické objekty na rozšířeném fázovém prostoru . . . . . . . . 285
C.2 Pohybové rovnice a vztah k časově nezávislé mechanice . . . . . . . . 286
C.3 Časově závislé kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
C.4 Hamiltonova–Jacobiho teorie geometricky . . . . . . . . . . . . . . . 294
Shrnutí hlavních pojmů a notace 296
Anglický slovníček 299
III KNIHA TŘETÍ:
Teoretická mechanika v příkladech 303
Předmluva a poděkování 305
1 Newtonovská mechanika 307
1.1 Částice odpuzovaná sílou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
1.2 Projektil vystřelený ze Země . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
1.3 Brzdící loď . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
1.4 Harmonický oscilátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
1.5 Matematické kyvadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
1.6 Malé kmity v obecném potenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
1.7 Pád tunelem napříč Zemí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
1.8 Rozmotávání lanka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
1.9 Buquoyova úloha z roku 1814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
1.10 Poyntingův–Robertsonův efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
2 Newtonovy rovnice s vazbami 327
2.1 Bod v parabolickém korýtku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
2.2 Napětí v závěsu matematického kyvadla . . . . . . . . . . . . . . . . 331
2.3 Bod na zrychlující nakloněné tyčce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
2.4 Bod v průsečíku koule s rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
2.5 Pohyb po pohybujícím se klínu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
2.6 Bod v průsečíku dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
12 OBSAH
2.7 Kutálení mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
2.8 d´Alembertův princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
2.9 Rovnováha tyče se závažím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
2.10 Rovnováha tyče v parabolickém korýtku . . . . . . . . . . . . . . . . 340
3 Lagrangeův formalismus 343
3.1 Kmity pružiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
3.2 Kyvadlo s protizávažím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
3.3 Cykloidální kyvadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
3.4 Eliptické kyvadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
3.5 Dvojkyvadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
3.6 Ampérova úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
3.7 Kyvadlo s proměnnou délkou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
3.8 Pohyb závaží spojeného s bodem obíhajícím po desce . . . . . . . . . 360
3.9 Binetův vzorec: dipólová porucha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
3.10 Newtonovský potenciál s kvadrupólovou poruchou . . . . . . . . . . 364
3.11 Stáčení perihelia v obecném sférickém poli . . . . . . . . . . . . . . . 365
3.12 Rychlosti planety obíhající po elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
3.13 Zobecněný potenciál elektromagnetického pole . . . . . . . . . . . . . 368
3.14 Zobecněná energie částice v elektromagnetickém poli . . . . . . . . . 370
4 Hamiltonův formalismus 371
4.1 Hamiltonova funkce částice v elektromagnetickém poli . . . . . . . . 377
4.2 Částice v homogenním elektrickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
4.3 Částice v homogenním magnetickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . 379
4.4 Harmonický oscilátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
4.5 Hamiltonova funkce ve sférických souřadnicích . . . . . . . . . . . . 381
4.6 Hamiltonova funkce s logaritmem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
4.7 Poissonova závorka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
4.8 Fundamentální Poissonovy závorky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
4.9 Poissonovy závorky složek momentu hybnosti . . . . . . . . . . . . . 385
4.10 Poissonova závorka velikosti momentu hybnosti . . . . . . . . . . . . 387
4.11 Integrály pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
4.12 Kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
4.13 Řešení harmonického oscilátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
4.14 Generující funkce kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . . . 390
4.15 Poissonovy závorky a kanonické transformace . . . . . . . . . . . . . 392
4.16 Hamiltonova–Jacobiho teorie: harmonický oscilátor . . . . . . . . . . 393
4.17 Hamiltonova–Jacobiho teorie: šikmý vrh . . . . . . . . . . . . . . . . 395
4.18 Hamiltonova–Jacobiho teorie: pohyb v centrálním poli . . . . . . . . 396
5 Mechanika tuhého tělesa 399
5.1 Rozklad na translaci a rotaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
5.2 Tenzor setrvačnosti tyčky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
5.3 Tenzor setrvačnosti kvádru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
OBSAH 13
5.4 Tenzor setrvačnosti elipsoidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
5.5 Moment setrvačnosti kvádru vůči tělesové úhlopříčce . . . . . . . . . 409
5.6 Kmity Machova skloněného kyvadla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
5.7 Pohyb kuličky po nakloněné rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
5.8 Langerova úloha: tyč padající na podlahu . . . . . . . . . . . . . . . 412
Poděkování 417
Literatura 419
Rejstřík 423
Teoretická mechanika ve třech knihách Podolský Jiří
- Product Code: Teoretická mechanika ve třech knihách Podolský Jiří
- Availability: 5
-
490CZK
- Ex Tax: 490CZK