Maxwellovy rovnice a jejich názorné odvození

autor Szántó Ladislav

124 stran A5 / brožovaná V2

           Kniha pojednává o elektromagnetickém poli netradičním způsobem. Vychází z pěti srozumitelných postulátů získaných ze zkušenosti každodenního života a staví na elementárních myšlenkových experimentech, z nichž odvozuje Maxwellovy rovnice a zákony elektromagnetického pole. V druhém vydání autor zúročil zkušenosti z prvního vydání a nově formuluje některé pasáže. Týká se to hlavně vektoru potenciálu magnetického pole a hustoty energie magnetického pole, ale i kapitoly o zákonných měrných jednotkách. Druhé vydání je doplněno novými oddíly. Stať Rovnice kontinuity pomáhá pochopit "podivný" Maxwellův proud. V pojednání o elektrostatickém a magnetostatickém poli z pohledu speciální teorie relativity se odvozuje Ampereův zákon jako důsledek elektrických sil dvou liniových nábojů, čímž se redukuje počet původních pěti postulátů na čtyři. V tomto pojednání se také objasní, proč molekulární proudy ve feromagnetikách posilují magnetické pole vnějších proudů. V novém oddílu se snížená rychlost elektromagnetických vln v látkovém prostředí dává do souvislosti s indexem lomu světla a vysvětluje se to z pozic QED - kvantové elektrodynamiky.

        Spis je míněn jako učební pomůcka pro vysoké školy technického zaměření. Dostupné publikace dnes předkládají tuto látku spíše ve formě sbírky hotových matematických formulí, a tak čtenáře učí memorovat a mechanicky počítat s nimi. Tato publikace však odvozuje zákony a rovnice elektromagnetických polí a učí inženýrsky myslet a matematicky se vyjadřovat.

        Ani v dnešním světe počítačů a internetu bychom neměli zapomínat na základy, ze kterých tyto technické vymoženosti vyrůstají.

                Stručný obsah

Pocta zakladatelům

Elektrostatické pole

Magnetostatické pole

Nestacionární elektromagnetické pole

Zákonné měrné jednotky

Příloha

Rejstřík, Seznam užitých symbolů

          Recenzní posudek na knihu Ladislav Szántó: Maxwellovy rovnice

         Cílem publikace je, jak praví sám autor v úvodu, podat výklad odvození a vlastností Maxwellových rovnic jednodušším způsobem, než jak je tomu v odborných knihách a skriptech. Autor při odvozování vychází z jednoduchých experimentů, jejichž výsledky lze snadno předpovědět. S využitím několika obecně platných principů, jako jsou symetrie problému, vztah intenzity pole a hustoty siločar a další, pak dochází k exaktnímu popisu pole. Takovýmto způsobem byly zřejmě před téměř dvěma stoletími odvozovány důležité rovnice elektromagnetického pole.

¨         Vzhledem ke způsobu výkladu bych knihu doporučil těm čtenářům, kteří se již s teorií elektromagnetického pole setkali, ale z různých důvodů nepronikli do vzájemných vztahů mezi jednotlivými veličinami, případně nemají názornou představu o použitém operátorovém počtu. V žádném případě se nejedná o základní učební text, ale spíše o jiný pohled na vybrané problémy z teorie elektromagnetického pole.

         Vedle témat objevujících se v běžných textech o elektromagnetickém poli autor obšírněji diskutuje tyto oblasti:

význam použitých operátorů,

historický vývoj definice základních konstant elektromagnetického pole,

důvod existence dvou vektorových veličin pro popis elektrického i pro popis magnetického pole, souvislost s materiálovými konstantami,

vliv pole na elementární částice hmoty a jejich chování, které zpětně působí na makroskopické pole,

příčinu nelineárního chování látkového prostředí a jeho důsledku,

a další.

           Obsah

Titulní strana

Obsah ............................................................................................................ 3

Předmluv....................................................................................................... 5

1 Pocta průkopníkům ............................................................................ 7

2 Elektrostatické pole........................................................................... 14

2.1 Siločáry, Coulombův zákon.......................................................... 14

2.2 Výtok intenzity elektrického pole přes pomyslnou uzavřenou

plochou.......................................................................................... 16

2.3 První Maxwellova rovnice (pro spojité rozložení nábojů)............ 18

2.4 Elektrické pole liniového náboje................................................... 20

2.5 Elektrické pole plošného náboje ................................................... 22

2.6 Energie elektrického pole.............................................................. 24

2.7 Potenciál elektrického pole ........................................................... 25

2.8 Elektrické pole v látkovém prostředí ............................................ 29

2.9 Složky elektrického pole ............................................................... 34

1.10 Lom siločar na rozhraní dielektrik ................................................ 37

1.11 Kondenzátor a jeho kapacita ......................................................... 39

1.12 D-E diagram ................................................................................. 39

1.13 Hustota energie elektrického pole v látkovém prostředí............... 41

2 Magnetostatické pole ........................................................................43

3.1 Magnetický pól a jeho magnetické pole......................................... 43

3.2 Ampèreův zákon ............................................................................ 44

3.3 Magnetická indukce pole přímého vodiče s proudem.................... 46

3.4 Biotův a Savartův zákon ................................................................ 48

3.5 Magnetický potenciál .................................................................... 52

3.6 Druhá Maxwellova rovnice............................................................ 53

3.7 Dráhový integrál B......................................................................... 55

3.8 Rotace B......................................................................................... 57

3.9 Třetí Maxwellova rovnice .............................................................. 61

3.10 Lorentzova síla ............................................................................... 63

3.11 Magnetické pole v látkovém prostředí........................................... 64

3.12 B-H diagram................................................................................... 68

3.13 Lom siločar indukce resp. intenzity magnetického pole................ 70

3.14 Hustota energie magnetického pole ............................................... 72

3.15 Permanentní magnet....................................................................... 74

3.16 Síla působící na póly elektromagnetu ............................................ 75

4 Elektromagnetické pole ....................................................................77

4.1 Faradayův indukční zákon ............................................................. 77

4.2 Čtvrtá Maxwellova rovnice............................................................ 80

BEN Ladislav Szántó: Maxwellovy rovnice, 2. vydání

..........................................................................................................

3

4.3 Elektromagnetické vlnění............................................................... 84

4.4 Odvození rotrotE = –ΔE............................................................... 86

3.5 Elektromagnetická vlna..................................................................87

3.6 Hustota energie, hustota hmotnosti elektromagnetické vlny ......... 91

3.7 Poyntingův vektor .......................................................................... 92

5 Zákonné měrné jednotky.................................................................. 95

6 Dodatek ............................................................................................100

6.1 Repetitorium vektorového počtu.................................................. 100

6.2 Gaussova a Stokesova věta .......................................................... 102

6.3 Vlnová rovnice .............................................................................105

6.4 Rovnice kontinuity .......................................................................108

3.5 Síla působící na vodič v magnetickém poli.................................. 109

3.6 Rowlandův experiment ................................................................ 111

3.7 Speciální teorie relativity a elektromagnetické pole .................... 112

3.7.1 Ampèreův zákon z pohledu speciální teorie relativity......... 113

3.7.2 Feromagnetická látka z pohledu speciální teorie relativity.. 116

3.8 Index lomu a rychlost světla ........................................................ 118

3.9 Historie jednotky proudu ampér................................................... 118

Seznam užitých symbolů..................................................................... 120

Rejstřík ................................................................................................. 121

..........................................................................................................

4 Ladislav Szántó: Maxwellovy rovnice,

Předmluva k prvnímu vydání

Když jsem stávající titul Maxwellovy rovnice nabídl vydavateli publikaci, jeho první reakce byla skeptická, protože pochyboval o prodejnosti titulu. Ke cti

vydavatele budiž řečeno, že projevil toleranci a rozvahu, když provedl průzkum tím, že na

své internetové stránce zveřejnil záměr vydat uvedenou publikaci, a požádal čtenáře o jejich

názor.

Reakce byla překvapivě rychlá. Během pár dnů došlo celkem deset odpovědí. Vzhledem

mým představám o tom, kolik lidí asi sleduje stránky vydavatele a kolik z nich je ochotno

odpovídat na jeho záměr, nečekal jsem tak velký ohlas. Odpovědi „internetového“ publika

lze rozdělit do dvou skupin.

V první skupině jsou stávající a bývalí studenti, kteří svorně prohlašují, že výklad

Maxwellových rovnic nepochopili, přesto zkoušku udělali a radovali se, že to mají za

sebou. Nicméně litují, že v základních vědomostech mají mezeru. Uvítali by publikaci,

která by jim tuto krásnou partii fyziky a základ veškeré elektrotechniky dostupnou formou

objasnila.

Jeden ohlas, z „pera“ vysokoškolského pedagoga, pokládá vydání titulu Maxwellovy

rovnice za nošení dříví do lesa. Každý pedagog v jeho okolí Maxwellovy rovnice přednáší,

má je ve svých skriptech, nebo knižních publikacích.

Maxwellovy rovnice jsou samozřejmě obsaženy v mnohých publikacích jako východisko

řešení konkrétních technických aplikací. Mám na mysli zejména publikace z oblasti antén,

nebo elektromagnetických polí a šíření vln. Naše publikace se věnuje výlučně

Maxwellovým rovnicím a končí tam, kde výše uvedené publikace začínají.

Při výkladu látky jsem měl před očima hlavně „inženýrsky“ myslícího čtenáře, který vítá

ilustraci textu a matematických výrazů pomocí obrázků. Metodiku výkladu lze shrnout

následovně:

1) Uvedu názorný myšlenkový experiment, jehož výsledky lze snadno předpovědět

na základě znalostí dnešních čtenářů, nebo pojmů, které jsem objasnil v předešlém

textu.

2) Uvedu argumenty pro zobecnění (indukci) výsledku myšlenkového experimentu

a v hovorové řeči objasním obsah příslušných pojmů a jejich souvislosti.

3) Zákony a rovnice (Maxwellovy) elektromagnetických polí odvodím přeložením

hovorové řeči do řeči matematiky.

Značnou pozornost věnují objasnění a ilustraci pojmů matematické řeči a to zejména

operátorům gradient, divergence, rotace, nabla atd. To jsou pojmy, které představují

největší překážku pochopení Maxwellových rovnic. Proto chci čtenáře nejdřív přesvědčit,

že je účelné zavést příslušný operátor, protože tím výrazy dostanou stručnou formu a

matematickou krásu.Dále pak operátor ilustruji obrázkem nebo algoritmem, s jehož pomocí

lze operátor vyhodnotit.

..........................................................................................................

5

Předmluva k druhému vydání

O druhém vydání každý autor je ochoten tvrdit, že je to vylepšený text knihy. Je to

pravda, poněvadž po letech čte autor svůj text jakoby cizími očima a vidí, kde by se dal

text doplnit a vylepšit, aby plastičtěji vyjadřoval podstatu předmětu a lépe objasňoval

souvislosti. Cílem publikace není jen uvést Maxwellovy rovnice v různých jejích formách,

ale ukázat cestu jak lze k nim dospět vlastní úvahou.

Maxwellovy rovnice se považují za postuláty elektromagnetického pole pro vícero

fyzikálních a technických oborů. Soudím tak proto, protože publikace dotýkající se alespoň

částečně elektromagnetického pole uvádějí tyto rovnice přinejmenším v úvodě nebo v

dodatku. Nicméně Maxwellovy rovnice jsou jen jedny v hierarchii postulátů, které jsou

cíleny na konkrétní segment zejména technického oboru. Podstatně názornější

Kirchhoffovy rovnice, které jejich autor uveřejnil přibližně 15 let před Maxwellovými

rovnicemi, také pojednávají o magnetickém poli na své úrovni abstrakce. Kirchhoffovy

rovnice jsou postuláty pro krásnou pragmatickou teorii lineárních obvodů, kde

kondenzátor zastupuje elektrostatickou složku a cívka magnetostatickou složku pole.

Geometrická optika svým způsobem také pojednává o elektromagnetickém poli a má své

postuláty, které jsou základem projektování mnoha optických přístrojů.

Postuláty zamířené na konkrétní pragmatický obor se vyznačují tím, že jsou formulovány

dobře známými pojmy a souvislostmi mezi nimi, aniž by potřebovaly bližší vysvětlení.

Jinak je to s Maxwellovými rovnicemi. Nejeden student si oddychne, když zkoušku složí,

a přitom přiznává, že těmto rovnicím nerozumí. Proto v naší brožurce vycházíme z

postulátů, které jsou svými pojmy a jejich vztahy srozumitelné i laikům a umožňují dospět

k Maxwellovým rovnicím vlastní úvahou čtenáře. Pomáhá přitom matematika, která se sice

zabývá jenom vzájemnými vztahy mezi pojmy, jenž nemusí mít ani konkrétní fyzikální

význam, nicméně, umožňuje vygenerovat nové veličiny s měřitelným fyzikálním obsahem.

V Maxwellových rovnicích pak vystupují pojmy, které se ve výchozích postulátech ani

nevyskytují.

Při výkladu Maxwellových rovnic vycházíme dále z myšlenkových experimentů, jejichž

výsledky se dají předem formulovat nejdříve v hovorovém jazyce a pak matematickými

výrazy. Průběžně podle potřeby zavádíme a objasníme méně známé matematické nástroje

jako jsou operátory gradient, divergence, rotace, nabla atd. Jsou to právě tyto

nástroje, které celé teorii dodávají stručnou a jednoznačně definovanou krásu. Názornost

výkladu je umocněna konkrétními doprovázejícími obrázky.

Půvab zde zvolených postulátů spočívá v tom, že základní zákony Coulombův a

Ampèreův, které se bez dalších předpokladů vyvozují z prvních myšlenkových

experimentů, mají formu v souladu s dnešní kodifikovanou racionalizovanou soustavou

měrných jednotek SI. Tím způsobem všechny postupně odvozované zákony včetně

Maxwellových rovnic mají racionalizovanou formu. Vděčíme za to Faradayovi a jeho

poučce o úměrnosti síly a hustoty siločar pole, která je jedním našim postulátem.

Roku 2012 L. Szántó

..........................................................................................................

6 Ladislav Szántó: Maxwellovy rovnice,