Gödel 1931

gnoseologická revoluce v matematice a exaktních vědách

autor Frýdek Jaroslav, Včelař František, Zelinka Ivan

rozsah / vazba 280 stran B5 / brožovaná V2

vydání 1. české

Publikace je věnována objevům, které Gödel zformuloval ve svém proslulém článku z r. 1931. Svojí úrovní se nalézá někde mezi monografií a populární knížkou. Na obou úrovních existuje dostatek skvělých publikací. Tato kniha se snaží literárně vyplnit nepříliš dotovanou mezeru mezi nimi. Důsledný výklad původních výsledků, jak se zdá, v podstatě chybí. Originální článek není příliš sdílný, a to ani pro odborníky. Knihu lze proto nejspíše charakterizovat jako komentovaný výklad původní Gödelovy práce s příklady a doplňky.

Autoři se snažili učinit knihu soběstačnou, a proto originál na mnoha místech doplňují. Na druhé straně ovšem nikde nepřesahují rámec původních metod a prostředků. V tomto smyslu je kniha rovněž historickým náhledem do doby, v níž výsledky vznikaly. Historická autentičnost byla vlastně prvořadá a byl jí podřízen téměř celý výklad, a to i včetně notace a terminologie.

Kniha je určena všem, kteří nejsou odborníky, ale zajímá je podstata autorových fundamentálních výsledků. Koneckonců, specialisty nejsou ani autoři knihy.

Stručný obsah

I. ODDÍL – Gödelova nezapomenutelná práce

II. ODDÍL – Některé pozoruhodné souvislosti s Gödelovými výsledky

podrobný obsah - ve formátu PDF

ukázka knihy - ve formátu PDF

update - zatím žádný není

obecná charakteristika

Goedel, Godel,

obsah knihy

Gödelova nezapomenutelná práce, ÚVOD, Základní pojmy, Formální systémy, Jazyk a metajazyk, Bezesporné aneb konzistentní teorie, Neúplné teorie, Nerozhodnutelná tvrzení, Souvislosti mezi Gödelovými větami, Hlavní Gödelova myšlenka, první část článku, Gödel nahodil motor a má (zatím) zařazený neutrál, GÖDELŮV ÚVOD, Velké formální systémy, Formální systémy Gödelovy a také naší doby, Gödelovo varování, Naznačení Gödelova důkazu, Myšlenka aritmetizace, Konstrukce propozice nerozhodnutelné v PM, Demonstrace nerozhodnutelnosti propozice [R(q) ; q], Pozorování a jedna zásadní metamatematická úvaha, Epistemologické antinomie (též noetické paradoxy), Paradox lháře, Russellův paradox, Richardův paradox, Podstata epistemologických antinomií, Gödelova geniální myšlenka, Charakterizace modelového formálního systému P, Zlatý grál "nerozhodnutelnosti", druhá část článku, POPIS FORMÁLNÍHO SYSTÉMU P, Primitivní znaky systému P, Konstanty, Proměnné různých typů, Gödelova poznámka o relacích a funkcích, Metadefinice znaků a formulí, Volné a vázané proměnné, Další podstatné (meta)definice, Základní logické symboly, Gödel zařadil první rychlostní stupeň, Axiomy systému P, I. skupina - Peanovy axiomy, II. skupina - výrokové logické axiomy, III. skupina - predikátové logické axiomy, IV. skupina - axiom redukovatelnosti, V. skupina - axiom extenzionality, Bezprostřední důsledek, Třída dokazatelných formulí, Gödel zařadil druhý rychlostní stupeň, ARITMETIZACE SYSTÉMU P, Aritmetizace primitivních znaků systému P, Aritmetizace konstant, Aritmetizace proměnných, Základní věta aritmetiky, Gödelovo číslování, Gödelova čísla, Aritmetizace formulí, Aritmetizace posloupností formulí, Dvě poznámky, které nepatří zcela na okraj, Princip aritmetizace metateorie formálního systému, Závěrečné připomenutí, Gödel zařadil třetí rychlostní stupeň, REKURZIVNÍ FUNKCE A RELACE, Fundamentální definice, Příklady užitečných jednoduchých rekurzivních funkcí a relací, 70, Rekurzívnost základních aritmetických operací, GÖDELOVY TEORÉMY O REKURZIVNÍCH, FUNKCÍCH A RELACÍCH, Teorémy I - III, Teorém I, Teorém II, Teorém III, Teorém IV - nejdůležitější technická věta, Gödel zařadil čtvrtý rychlostní stupeň, GÖDELOVY DEFINICE A JEJICH PŘÍKLADY, Definice 1 - dělitelnost, Definice 2 - prvočísla, Definice 3 - prvočíslo rozkladu, Definice 4 - faktoriál, Definice 5 - posloupnost všech prvočísel, Definice 6 - termy, výrazy, Definice 7 - délka posloupnosti, Definice 8 - zřetězení posloupností, Definice 9 - jednočlenná posloupnost, Definice 10 - uzávorkování, Definice 11 - proměnná určitého typu, Definice 12 - proměnná, Definice 13 - negace, Definice 14 - disjunkce, Definice 15 - generalizace, Definice 16 - vkládání znaků následníka, Definice 17 - numerály, Definice 18 - znaky typu 1, Definice 19 - znaky libovolného typu, Definice 20 - elementární formule, Definice 21 - pomocná operace, Definice 22 - speciální posloupnost formulí, Definice 23 - formule, Definice 24 - vázaná proměnná, Definice 25 - volná proměnná, Definice 26 - volné proměnné, Definice 27 - "mechanická" substituce, Definice 28 - pomocná funkce, Definice 29 - technický pojem, Definice 30 - pomocný pojem, Definice 31 - přípustná substituce, Definice 32 - ostatní logické pojmy, Definice 33 - elevace typů, Definice 34 - Peanův axiom, Definice 35 - výrokové logické axiomy, Definice 36 - výrokový axiom, Definice 37 - důležitá technická relace, Definice 38 - první predikátový axiom, Definice 39 - druhý predikátový axiom, Definice 40 - axiom redukovatelnosti, Definice 41 - axiom extenzionality, Definice 42 - axiom systému P, Definice 43 - bezprostřední důsledek, Definice 44 - důkazová figura, Definice 45 - důkaz v systému P, Definice 46 - dokazatelná formule, Závěr kapitoly, FORMALIZACE REKURZÍVNOSTI V RÁMCI, SAMOTNÉHO SYSTÉMU P, Teorém V, Několik závěrečných úvah o Teorému V, Gödel zařadil poslední rychlostní stupeň, CÍL DISKUZE PODLE AUTORA, Konzistence a -konzistence, Množina důsledků třídy FORMULÍ, Dva druhy konzistence třídy FORMULÍ, Vztah mezi konzistencí a -konzistencí, Rekurzivní třída FORMULÍ, Teorém VI - nejdůležitější věta Gödelova článku, Formulace Teorému VI, Důkaz Teorému VI, Gödelova intuicionistická vsuvka o konstruktivnosti Teorému VI, 145, Definitivní zobecnění teorému J. B. Rosserem, ROZHODNUTELNOST A JEJÍ DŮSLEDKY, Rozhodnutelné relace a zvláště pak třídy, Zobecnění Teorému VI pro rozhodnutelné třídy FORMULÍ, GÖDELOVY DALŠÍ NÁMĚTY A POZNÁMKY, Konzistence versus protipříklady, Důsledky rozšíření třídy axiomů systému P, Gödelovy úvahy o základních problémech teorie množin (TM), 155, Jedna speciální třída FORMULÍ, Vsuvka o axiomu výběru, (zobecněné) hypotéze kontinua a jejich důsledcích pro nerozhodnutelnost, 156, Poznámka o nerekurzívnosti vztahu dokazatelnosti, Gödelovo neformální metatvrzení, třetí část článku, NĚKTERÉ DŮSLEDKY TEORÉMU VI, Aritmetické relace, Definice aritmetických relací a tříd, Čínská věta o zbytcích a její důsledek - Teorém VII, Důkaz Teorému VII, Teorém VIII, Omezený funkční kalkul (počet) - o.f.k., Vymezení základních pojmů o.f.k., Pravdivost a splnitelnost formulí, Teorémy IX a X, DVA ZÁSADNÍ PROBLÉMY TEORIE ČÍSEL, Goldbachova hypotéza, Velká Fermatova věta, čtvrtá část článku, NEDOKAZATELNOST BEZESPORNOSTI, Teorém XI - druhá nejdůležitější věta Gödelova článku, Teorém XI a jeho demonstrace, Několik komentářů k demonstraci Teorému XI, Závěrečné znepokojivé pozorování, Gödelovy poznámky k Teorému XI, Co je aritmetizací Zlatého grálu v "teorii nerozhodnutelnosti"?, 191, GÖDELOVY ZÁVĚREČNÉ POZNÁMKY, Poznámka doplněná 28. srpna 1963, Poznámka pod čarou, 195,, Některé pozoruhodné souvislosti s Gödelovými výsledky, 199, ÚVOD KE II. ODDÍLU, PROBLÉMY POČÍTAČOVÝCH DŮKAZŮ, Bremermannova mez a Shannonova míra informace, Počítačové důkazy a jejich souvislost s Bremermannovou mezí, 203, Problém čtyř barev, Slabá Goldbachova hypotéza, A jaké jsou závěry?, Vyhlídky Goldbachovy hypotézy, Ukázka "běžné" velikosti Gödelových čísel, TURINGOVY STROJE A GÖDELOVA ČÍSLA, Turingův stroj, Gödel a Entscheidungsproblem, Turingovy stroje a Gödel v prostředí MATHEMATICA, Fyzikální "analogie" Teorému XI, KURT FRIEDRICH GÖDEL, JEHO ŽIVOT A DÍLO, HEGELOVSKO-GÖDELOVSKÁ PARALELA, EUKLEIDOVY ZÁKLADY, NĚKOLIK SOUVISLOSTÍ S AXIOMEM VÝBĚRU, PÁR SLOV O DALŠÍCH VLASTNOSTECH, FORMÁLNÍCH TEORIÍ, Pravdivost a dokazatelnost, Abstraktní věta o neúplnosti pro korektní systémy, "Bohaté" a "chudé" systémy, Dvě věty nerozhodnutelné v Peanově aritmetice, POHLED JEDNOHO Z RECENZENTŮ NA NĚKTERÁ, PŘÍBUZNÁ TÉMATA, Připomínky pana Aleše Gottvalda, Nerozhodnuto navěky?

rejstřík knihy

abeceda jazyka, abstraktní věta o neúplnosti, AC (axiom výběru), Ackermannova funkce, aktuální nekonečno, algebraické číslo, alternativní teorie množin, antecedent, Appel K., aristotelovská logika, aritmetická relace, aritmetická třída, aritmetika nekonečna, aritmetizace, aritmetizace metateorie, autoreferenční tvrzení, autoreferenční výrok, AXIOM, axiom, axiom extenzionality, axiom nekonečna, axiom redukovatelnosti, axiom výběru, axiomatická teorie, axiomatické schéma, Banachův-Tarského paradox, Bernays P., BEZPROSTŘEDNÍ DŮSLEDEK, bezprostřední důsledek, Billingsley P., Bolyai J., Bremermannova mez, Cantor G., Cantorova věta, Cantorova-Bernsteinova věta, Cohen P., čínská věta o zbytcích, Dawson J. W., de Morganova pravidla, Dedekind R., definice, Definice 1, Definice 11, Definice 12, Definice 13, Definice 14, Definice 15, Definice 16, Definice 17, Definice 18, Definice 19, Definice 2, Definice 20, Definice 21, Definice 22, Definice 23, Definice 24, Definice 25, Definice 26, Definice 27, Definice 28, Definice 29, Definice 3, Definice 30, Definice 31, Definice 32, Definice 33, Definice 34, Definice 35, Definice 36, Definice 37, Definice 38, Definice 39, Definice 4, Definice 40, Definice 41, Definice 42, Definice 43, Definice 44, Definice 45, Definice 46, Definice 5, Definice 6, Definice 8, Definice 9, definiendum, definiens, dělitelnost, demonstrace, diagonální funkce, dialektika, Diracova konstanta, Dirichletův princip, DISJUNKCE, disjunkce, dobré uspořádaní, DOKAZATELNÁ FORMULE, dokazatelná formule, Druhá Gödelova věta, druhý predikátový axiom, důkaz, DŮKAZ FORMULE, DŮKAZOVÁ FIGURA, D. Hilbert, Einstein A., EKVIVALENCE, ekvivalence, ELEMENTÁRNÍ FORMULE, elementární teorie reálných čísel, ELEVACE TYPŮ, elevace typů, Emanuel, entropie, Entscheidungsproblem, Epimenidův paradox, epistemologická antinomie, epistemologický paradox, epistemologie, Eukleidés, Eukleidovy Základy, Euler L., EXISTENČNÍ KVANTIFIKACE PROMĚNNÉ, existenční kvantifikátor, faktoriál, formální systém, FORMULE, formule, formule o.f.k., formule pravdivá, Frage G., Franzén T., funkce číselně-teoretická, funkce následníka, funkční proměnná, fuzzy logika, Galilei G., Gauss C. F., GENERALIZACE, generalizace, Gentzen G. K. E., gnoseologie, Gödel K. F., Gödelova věta o úplnosti, Gödelova-Bernaysova teorie, Gödelovo číslo, Gödelovo číslování, Goethe J. W., Goldbachova hypotéza, Goldsteinová R., Goodstein R. L., Goodsteinova posloupnost, Goodsteinova věta, graf, Hahn H., Hahnova-Banachova věta, Haken W., halting problem, Harrington L., Hegel G. F. W., Heisenbergova relace neurčitosti, Hilbert D., Hilbertova identita, Hilbertova symbolika, homogenní funkce, homogenní množina, homogenní relace, hrana grafu, Husserl E., hypotéza kontinua, charakteristická vlastnost, Church A., identita, IMPLIKACE, implikace, individuum, interpunkční symbol, intuicionistická logika, izomorfizmus, jazyk teorie, jednočlenná posloupnost, jednoduchá hypotéza kontinua, Jordanova věta, kalkul přirozené dedukce, Kant I., kardinální aritmetika, kardinální číslo, Kepler J., Kirby L., Kolmogorov A. N., konečný graf, KONJUNKCE, konjunkce, konsekvent, konstanta, konstantní funkce, konstruktivizmus, konstruktivní důkaz, konstruktivní tvrzení, konzervativní rozšíření, konzistence, korektní systém, korespondenční lemma, kvantová mechanika, -DOKAZATELNÁ FORMULE, Leibniz G., Liouville J., Lobačevskij N. I., logická konstanta, logický axiom, logický symbol, MAPLE, marker, MATHEMATICA, metadefinice, metajazyk, metateorém, metateorie, metatvrzení, metavěta, množina, množina všech přirozených čísel, mocnina, modální logika, model, modus ponens, mohutnost, mohutnost kontinua, Morseova-Kellyho teorie, naivní teorie množin, následník, NEGACE, negace, nehomogenní n-tice, nehomogenní relace, největší společný dělitel, nekonečno, nekonečný graf, nerozhodnutelná propozice, nerozhodnutelné tvrzení, nesoudělnost, Newton I., nezávislý axiom, noetická antinomie, noetický paradox, noetika, normální množina, nula, NUMERÁL, numerál, n-místný relační znak, obecný kvantifikátor, oblouk, odvozovací (inferenční) pravidlo, omezený funkční kalkul, ordinální aritmetika, ordinální číslo, paradox Buraliho-Fortiho, paradox Kréťana, paradox lháře, Paris J., pátý geometrický postulát, Peanova aritmetika, Peanův axiom, Planckova konstanta, platónský realizmus, počítačový důkaz, PODFORMULE, podformule, Poincaré H., POSLOUPNOST FORMULÍ, posloupnost všech prvočísel, potence, potenciální nekonečno, pravdivost, pravidlo generalizace, pravidlo o dodání obecného kvantifikátoru, pravidlo odloučení, pravidlo zobecnění, predikátová proměnná, predikátový kalkul, Presburgerova aritmetika, primitivní pojem, primitivní znak, princip matematické indukce, princip maximality, princip transfinitní indukce, Principia mathematica, PM, problém čtyř barev, problém zastavení, projekce, Proklos, PROMĚNNÁ, proměnná, PROMĚNNÁ TYPU n, proměnná typu n, proměnná vázaná na místě, proměnná volná na místě, propozice, protipříklad, První Gödelova věta, první predikátový axiom, prvočíslo, prvočíslo rozkladu, přirozená interpretace, Pythagorova věta, Ramsey F. P., rekurzivní funkce, rekurzivní relace, rekurzivní RELAČNÍ ZNAK, rekurzivní schéma, rekurzivní třída, relace neostrého uspořádání, relace ostrého uspořádání, relační proměnná, Riemann B., Riemannova hypotéza, richardovské číslo, Richardův paradox, Robinson A., Robinsonova aritmetika, Rosser J. B., Rosserova věta, Rosserova-Gödelova věta, rovinný graf, rozhodnutelná relace, rozhodnutelná třída, rozhodovací problém, Russell B., Russellův paradox, rychlost světla ve vakuu, selektor na množině, SENTENCIÁLNÍ FORMULE, SENTENCIÁLNÍ PROPOZICE, sentenciální propozice, Shannonova míra informace, Schéma (*), silná verze Goldbachovy hypotézy, slabá verze Goldbachovy hypotézy, Smullyan R. M., součet, součin, speciální axiom, speciální symbol, speciální teorie, speciální znak, splnitelná formule, splnitelnost, stupeň, syntaktické pravidlo, syntaxe teorie, systém P, Tarski A., tautologie, teorém, Teorém I, Teorém II, Teorém III, Teorém IV, Teorém IX, Teorém V, Teorém VI, Teorém VII, Teorém VIII, Teorém X, Teorém XI, teorie, bez rovnosti, bezesporná, grafů, her, informace, inkonzistentní, konzistentní, modelů, neúplná, poznání, pravděpodobnosti, s rovností, sporná, tříd, typů, vyčíslitelnosti, term, ternární Goldbachův problém, transcendentní číslo, transfinitní indukce, třída, třída dokazatelných formulí, třída individuí, třídový znak, Turing A. M., Turingův stroj, univerzální Turingův stroj, VÁZANÁ PROMĚNNÁ, vázaná proměnná, Velká Fermatova věta, vícehodnotová logika, Vinogradov I. M., vlastní třída, VOLNÁ PROMĚNNÁ, volná proměnná, von Neumann J., Vopěnka P., vrchol grafu, výrokový logický axiom, výrokový počet, Wang H., Wangovo domino, Wiles A., -konzistence, základní věta aritmetiky, zákon vyloučeného třetího, Zermelo E., Zermelova věta, Zermelova-Fraenkelova teorie, Zlatý grál, ZNAK TYPU n, znak typu n, ZNAK TYPU 1, zobecněná hypotéza kontinua, zobecnění, Zornovo lemma, zřetězení posloupností